Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$, $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$, $C\left(x_C;y_C;z_C\right)$.

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.

Nếu đề bài cho toạ độ trọng tâm $G\left(x_G;y_G;z_G\right)$ của tam giác ABC, điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và điểm $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$, ta tìm được điểm $C\left(3x_I-x_A-x_B;3y_I-y_A-y_B;3z_I-z_A-z_B\right)$.

1) Cho tam giác MNP có M(1;-2;1), N(-1;-2;3) và P(3;1;2). Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Giải:

$G\left(\frac{1+\left(-1\right)+3}{3};\frac{\left(-2\right)+\left(-2\right)+1}{3};\frac{1+3+2}{3}\right)\iff G\left(1;-1;2\right)$.

2) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;3;-5), B(2;1;4), $G\left(2;\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$. Tìm toạ độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Giải:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:

$G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3},\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.

Từ đó, ta có hệ phương trình:

$x_C=3x_G-(x_A+x_B)$, $y_C=3y_G-(y_A+y_B)$, $z_C=3z_G-(z_A+z_B)$.

Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:

$x_C=3.2-(1+2)=3$, $y_C=3\times \frac{2}{3}-(3+1)=0$, $z_C=3.\left(-\frac{2}{3}\right)-(-5+4)=-3$.

Vậy toạ độ điểm C là C (3;0;-3).