Phương pháp 1: Đưa biểu thức về dạng phân thức mà chứa tử thức là số nguyên, tìm giá trị của biến để mẫu thức là ước của tử thức.

+  Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng \(A = f\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}\) trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

+ Bước 2: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên.

+ Bước 3: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên.

+ Bước 4: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

+ Bước 5: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận.

Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị của biểu thức, từ khoảng giá trị đó ra có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được.

+ Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

+ Bước 2: Rút gọn biểu thức A.

+ Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được.

+ Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Phương pháp 3: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, tìm khoảng giá trị của tham số, từ khoảng giá trị đó ta xét các giá trị nguyên của tham số, giải ra tìm ẩn.

+ Bước 1: Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa

+ Bước 2: Rút gọn biểu thức A

+ Bước 3: Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được

+ Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận.

\(\sqrt A \) xác định hay có nghĩa khi \(A \ge 0\). Từ đó ta giải bất phương trình để tìm điều kiện xác định.

Để rút gọn căn thức bậc hai, ta dựa vào các kiến thức:

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức. Thông thường là

· \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

· \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Với A là một biểu thức, ta có:

· Với \(A \ge 0\) ta có \(\sqrt A  \ge 0\); \({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\);

· \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Khi rút gọn biểu thức, ta cần thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu cần);

+ Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung rồi quy đồng;

+ Bước 3: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) phân thức kết hoặc các phép biến đổi khai căn để rút gọn phân thức.