Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác - Toán 10

Hệ thức lượng trong tam giác - Từ điển môn Toán 10

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Nội dung chính

1. Phương pháp bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

2. Ví dụ minh hoạ về tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

a) Sử dụng định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó:

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R \Rightarrow R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{b}{2 sin B} = \frac{c}{2 sin C}$ .

b) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC. Khi đó:

$S = \frac{a b c}{4 R} \Rightarrow R = \frac{a b c}{4 S}$ .

1) Tam giác ABC có BC = 8 và $ˆ A = 30^{o}$ . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải:

Ta áp dụng công thức $\frac{a}{sin A} = 2 R$

$\Rightarrow R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{B C}{2 sin A} = \frac{8}{2 sin 30^{o}} = \frac{8}{2. \frac{1}{2}} = 8$ .

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R = 8$ .

2) Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải:

Theo công thức Heron, diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{\sqrt{(A B + A C + B C) (A B + B C - A C) (A B + A C - B C) (B C + A C - A B)}}{4}$

$= \frac{\sqrt{(3 + 5 + 6) (3 + 6 - 5) (3 + 5 - 6) (6 + 5 - 3)}}{4}$

$= \frac{\sqrt{14 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 8}}{4} = \frac{\sqrt{896}}{4} = \frac{8 \sqrt{14}}{4} = 2 \sqrt{14}$ .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$R = \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{4 S} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 2 \sqrt{14}} = \frac{90}{8 \sqrt{14}} = \frac{45}{4 \sqrt{14}}$ .