Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi. Khi đó $S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}$.

1) Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7 và BC = 11. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{6+7+11}{2}=\frac{24}{2}=12$.

Theo Heron, diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}$

$=\sqrt{12\cdot (12-6)\cdot (12-7)\cdot (12-11)}$

$=\sqrt{12\cdot 6\cdot 5\cdot 1}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

$r=\frac{S}{p}=\frac{6\sqrt{10}}{12}=\frac{\sqrt{10}}{2}$.

2) Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

Diện tích tam giác đều ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a\cdot \sin {60}^o=a^2\sqrt{3}$.

Nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{2a+2a+2a}{2}=3a$.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

$r=\frac{S}{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{3a}=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}$.