Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) là nửa chu vi. Khi đó \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}\).

1) Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7 và BC = 11. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{6 + 7 + 11}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\).

Theo Heron, diện tích tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} \)

\( = \sqrt {12 \cdot (12 - 6) \cdot (12 - 7) \cdot (12 - 11)} \)

\( = \sqrt {12 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 1}  = \sqrt {360}  = 6\sqrt {10} \).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\(r = \frac{S}{p} = \frac{{6\sqrt {10} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).

2) Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

Diện tích tam giác đều ABC là:

\(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a \cdot \sin {60^o} = {a^2}\sqrt 3 \).

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\(p = \frac{{2a + 2a + 2a}}{2} = 3a\).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\(r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).