Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của luỹ thừa.

Với a, b là các số thực dương và m, n là các số thực, ta có:

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\);

\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\);

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\);

\({(ab)^m} = {a^m}{b^m}\);

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\).

Chú ý:

+ Nếu a > 1 thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m > n.

+ Nếu 0 < a < 1 thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m < n.

1) Tính giá trị biểu thức:

a) \(P = \sqrt[5]{{ - 4}}.\sqrt[5]{8}\);

b) \(S = {27^{\frac{1}{3}}}\);

c) \(A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 1,25}}\).

Giải:

a) \(P = \sqrt[5]{{ - 4}}.\sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{{ - 32}} =  - 2\).

b) \(S = {27^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{27}} = 3\).

c) \(A = {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ - \frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 1,25}} = {27^{ - \frac{2}{3}}} + {16^{1,25}} = {\left( {{3^3}} \right)^{ - \frac{2}{3}}} + {\left( {{2^4}} \right)^{\frac{5}{4}}}\)

\( = {3^{ - 2}} + {2^5} = \frac{1}{9} + 32 = \frac{{289}}{9}\).

2) Tính giá trị biểu thức:

a) \(A = \frac{{{3^4}{{.3}^{ - 2}} + {2^5}{{.2}^{ - 4}}}}{{{2^4}{{.2}^3} - {{2.3}^5}{{.3}^{ - 4}}}}\)

b) \(B = \frac{{{3^5}{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3} + {{\left( {{2^2}} \right)}^{ - 3}}{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{ - 4}}}}{{{5^{ - 3}}{{.25}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^0}{{\left( {\frac{1}{{25}}} \right)}^{ - 1}}}}\).

Giải:

a) \(A = \frac{{{3^4}{{.3}^{ - 2}} + {2^5}{{.2}^{ - 4}}}}{{{2^4}{{.2}^3} - {{2.3}^5}{{.3}^{ - 4}}}} = \frac{{{3^2} + {2^1}}}{{{2^7} - {{2.3}^1}}} = \frac{{9 + 2}}{{128 - 6}} = \frac{{11}}{{122}}\).

b) \(B = \frac{{{3^5}{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3} + {{\left( {{2^2}} \right)}^{ - 3}}{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{ - 4}}}}{{{5^{ - 3}}{{.25}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^0}{{\left( {\frac{1}{{25}}} \right)}^{ - 1}}}} = \frac{{{3^2} + {2^2}}}{{{5^{ - 3}}{{.5}^4} + {{25}^1}}} = \frac{{13}}{{30}}\).

3) Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Cho \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\). Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}}\).

b) Cho \({9^x} + {9^{ - x}} = 23\). Khi đó biểu thức \(A = \frac{{5 + {3^x} + {3^{ - x}}}}{{1 - {3^x} - {3^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính a.b.

Giải:

a) \({4^x} + {4^{ - x}} = 7 \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3\).

Suy ra \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{{5 + 3}}{{8 - 12}} =  - 2\).

b) \({9^x} + {9^{ - x}} = 23 \Leftrightarrow {\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} + {3^{ - x}} = 5}\\{{3^x} + {3^{ - x}} =  - 5}\end{array}} \right.\) vì \({3^x} + {3^{ - x}} > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({3^x} + {3^{ - x}} = 5\).

\( \Rightarrow A = \frac{{5 + {3^x} + {3^{ - x}}}}{{1 - {3^x} - {3^{ - x}}}} = \frac{{5 + 5}}{{1 - 5}} = \frac{{ - 5}}{2}\).

Vậy \(a.b =  - 10\).