Cách tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Lũy thừa với số mũ thực - Từ điển môn Toán 11

Cách tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa - Toán 11

Cách tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa

Nội dung chính

1. Phương pháp tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa

2. Ví dụ minh hoạ về tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa

1. Phương pháp tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa

Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của luỹ thừa.

Với a, b là các số thực dương và m, n là các số thực, ta có:

$a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ ;

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ ;

${(a^{m})}^{n} = a^{m . n}$ ;

$(a b)^{m} = a^{m} b^{m}$ ;

${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ .

Chú ý:

+ Nếu a > 1 thì $a^{m} > a^{n}$ khi và chỉ khi m > n.

+ Nếu 0 < a < 1 thì $a^{m} > a^{n}$ khi và chỉ khi m < n.

2. Ví dụ minh hoạ về tính giá trị biểu thức chứa luỹ thừa

1) Tính giá trị biểu thức:

a) $P = \sqrt[5]{- 4} . \sqrt[5]{8}$ ;

b) $S = 27^{\frac{1}{3}}$ ;

c) $A = {(\frac{1}{27})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{16})}^{- 1, 25}$ .

Giải:

a) $P = \sqrt[5]{- 4} . \sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{- 32} = - 2$ .

b) $S = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$ .

c) $A = {(\frac{1}{27})}^{- \frac{2}{3}} + {(\frac{1}{16})}^{- 1, 25} = 27^{- \frac{2}{3}} + 16^{1, 25} = {(3^{3})}^{- \frac{2}{3}} + {(2^{4})}^{\frac{5}{4}}$

$= 3^{- 2} + 2^{5} = \frac{1}{9} + 32 = \frac{289}{9}$ .

2) Tính giá trị biểu thức:

a) $A = \frac{3^{4} {.3}^{- 2} + 2^{5} {.2}^{- 4}}{2^{4} {.2}^{3} - {2.3}^{5} {.3}^{- 4}}$

b) $B = \frac{3^{5} {(\frac{1}{3})}^{3} + {(2^{2})}^{- 3} {(\frac{1}{4})}^{- 4}}{5^{- 3} {.25}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{0} {(\frac{1}{25})}^{- 1}}$ .

Giải:

a) $A = \frac{3^{4} {.3}^{- 2} + 2^{5} {.2}^{- 4}}{2^{4} {.2}^{3} - {2.3}^{5} {.3}^{- 4}} = \frac{3^{2} + 2^{1}}{2^{7} - {2.3}^{1}} = \frac{9 + 2}{128 - 6} = \frac{11}{122}$ .

b) $B = \frac{3^{5} {(\frac{1}{3})}^{3} + {(2^{2})}^{- 3} {(\frac{1}{4})}^{- 4}}{5^{- 3} {.25}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{0} {(\frac{1}{25})}^{- 1}} = \frac{3^{2} + 2^{2}}{5^{- 3} {.5}^{4} + 25^{1}} = \frac{13}{30}$ .

3) Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Cho $4^{x} + 4^{- x} = 7$ . Tính giá trị biểu thức $P = \frac{5 + 2^{x} + 2^{- x}}{8 - {4.2}^{x} - {4.2}^{- x}}$ .

b) Cho $9^{x} + 9^{- x} = 23$ . Khi đó biểu thức $A = \frac{5 + 3^{x} + 3^{- x}}{1 - 3^{x} - 3^{- x}} = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a, b \in Z$ . Tính a.b.

Giải:

a) $4^{x} + 4^{- x} = 7 \Leftrightarrow {(2^{x} + 2^{- x})}^{2} = 9 \Leftrightarrow 2^{x} + 2^{- x} = 3$ .

Suy ra $P = \frac{5 + 2^{x} + 2^{- x}}{8 - {4.2}^{x} - {4.2}^{- x}} = \frac{5 + 3}{8 - 12} = - 2$ .

b) $9^{x} + 9^{- x} = 23 \Leftrightarrow {(3^{x} + 3^{- x})}^{2} = 25 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} 3^{x} + 3^{- x} = 5 \\ 3^{x} + 3^{- x} = - 5 \end{array}$ vì $3^{x} + 3^{- x} > 0$ , $\forall x \in R$ nên $3^{x} + 3^{- x} = 5$ .

$\Rightarrow A = \frac{5 + 3^{x} + 3^{- x}}{1 - 3^{x} - 3^{- x}} = \frac{5 + 5}{1 - 5} = \frac{- 5}{2}$ .

Vậy $a . b = - 10$ .