a) Phương pháp giải

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) = \frac{{P(n)}}{{Q(n)}}\).

+ Nếu bậc của tử P(n) = bậc của mẫu Q(n) thì \(\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = \) (hệ số bậc cao nhất của tử) : (hệ số bậc cao nhất của mẫu).

+ Nếu bậc của tử P(n) < bậc của mẫu Q(n) thì \(\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = 0\).

+ Nếu bậc của tử P(n) > bậc của mẫu Q(n) thì \(\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} =  + \infty \) hoặc \(\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} =  - \infty \) (phụ thuộc vào hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu).

b) Ví dụ minh hoạ

Tính giới hạn:

1) \(L = \lim \frac{{4{n^2} - n - 1}}{{3 + 2{n^2}}}\).

2) \(L = \lim \frac{{{n^2} - n + 3}}{{{n^3} + 2n}}\).

3) \(L = \lim \frac{{2{n^3} - 11n + 1}}{{{n^2} - 2}}\).

4) \(L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)}}{{3{n^2} + 4}}\).

5) \(L = \lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{4.5}} + ... + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right]\).

Giải:

1) Ta có \(L = \lim \frac{{{n^2}\left( {4 - \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {\frac{3}{{{n^2}}} + 2} \right)}} = \lim \frac{{4 - \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{3}{{{n^2}}} + 2}} = \frac{{4 - 0 - 0}}{{0 + 2}} = 2\).

2) Ta có \(L = \lim \frac{{{n^2}\left( {1 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \left( {\frac{1}{n}.\frac{{1 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = 0.\frac{{1 - 0 + 0}}{{1 + 0}} = 0\).

3) \(L = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 - \frac{{11}}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {1 - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \left( {n.\frac{{2 - \frac{{11}}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) =  + \infty \).

(Vì \(\lim n =  + \infty \) và \(\lim \left( {\frac{{2 - \frac{{11}}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = 2 > 0\)).

4) Xét cấp số cộng 1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n + 1 có số hạng đầu tiên \({u_1} = 1\), công sai \(d = 2\) và số hạng cuối cùng là \({u_m} = 2n + 1\) ta có:

\({u_1} + (m - 1)d = 2n + 1 \Leftrightarrow 1 + 2(m - 1) = 2n + 1 \Leftrightarrow m = n + 1\).

Vậy cấp số cộng có \(n + 1\) số hạng. Suy ra tổng:

\(S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n + 1 = \frac{m}{2}({u_1} + {u_m}) = \frac{{n + 1}}{2}(1 + 2n + 1) = {n^2} + 2n + 1\).

Vì thế \(L = \lim \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{3{n^2} + 4}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}\)

\( = \lim \frac{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 + \frac{4}{{{n^2}}}}} = \frac{{1 + 0 + 0}}{{3 + 0}} = \frac{1}{3}\).

5) Số hạng tổng quát \(\frac{1}{{k(k + 1)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\); \((\forall k = 1,2, \ldots ,n)\) do đó:

\(L = \lim \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = \lim \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\)

\( = \lim \left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \lim \frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{{1 + 0}} = 1\).

a) Phương pháp giải

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) = \frac{{P(n)}}{{Q(n)}}\).

Chia cả tử và mẫu cho \({a^n}\) với \(\left| a \right|\) là cơ số lớn nhất (áp dụng công thức \({a^{m + n}} = {a^m}.{a^n}\) và \({a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}\)).

Áp dụng công thức \(\lim {q^n} = 0\) với \(\left| q \right| < 1\).

b) Ví dụ minh hoạ

Tính giới hạn:

1) \(L = \lim \frac{{1 - {3^n} + {{4.5}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 1}} + {3^{n + 2}} + {5^{n + 1}}}}\).

2) \(L = \lim \frac{{{4^{n + 2}} + {6^{n + 1}}}}{{{5^n} - 1 + {{2.6}^{n + 3}}}}\).

3) \(L = \lim \frac{{{2^n} - {3^{n - 2}} + {{3.5}^{n + 2}}}}{{{2^{n - 1}} + {3^{n + 2}} + {5^{n + 1}}}}\).

4) \(L = \lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} +  \ldots  + {2^n}}}{{{{5.2}^n} + 1}}\).

5) \(L = \lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} +  \ldots  + {2^n}}}{{1 + 3 + {3^2} + {3^3} +  \ldots  + {3^n}}}\).

6) \(L = \lim \frac{{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +  \ldots  + \frac{1}{{{2^n}}}}}{{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} +  \ldots  + \frac{1}{{{3^n}}}}}\).

Giải:

1) Chia cả tử và mẫu cho \({5^n}\), ta có:

\(L = \lim \frac{{\frac{1}{{{5^n}}} - \frac{{{3^n}}}{{{5^n}}} + {{4.5}^2}}}{{\frac{{{2^{n + 1}}}}{{{5^n}}} + \frac{{{3^{n + 2}}}}{{{5^n}}} + \frac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 100}}{{2{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 9{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 5}} = \frac{{0 - 0 + 100}}{{0 + 0 + 5}} = 20\).

2) \(L = \lim \frac{{{4^{n + 2}} + {6^{n + 1}}}}{{{5^n} - 1 + {{2.6}^{n + 3}}}} = \lim \frac{{16{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 6}}{{\frac{1}{5}{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n} + 432}} = \frac{{0 + 6}}{{0 + 432}} = \frac{1}{{72}}\).

3) \(L = \lim \frac{{{2^n} - {3^{n - 2}} + {{3.5}^{n + 2}}}}{{{2^{n - 1}} + {3^{n + 2}} + {5^{n + 1}}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - \frac{1}{9}{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 75}}{{\frac{1}{2}{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 9{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 5}} = \frac{{0 - 0 + 75}}{{0 + 0 + 5}} = 15\).

4) Xét cấp số nhân \(1,2,{2^2},{2^3}, \ldots ,{2^n}\) có số hạng đầu tiên \({u_1} = 1\), công bội \(q = 2\) và có số hạng tổng quát \({u_m} = {2^n} \Leftrightarrow {u_1}{q^{m - 1}} = {2^n} \Leftrightarrow m - 1 = n \Leftrightarrow m = n + 1\).

Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân trên là:

\({S_m} = {u_1}\frac{{{q^m} - 1}}{{q - 1}} = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{2 - 1}} = {2^{n + 1}} - 1\).

Suy ra \(L = \lim \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{{{5.2}^n} + 1}} = \lim \frac{{2 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{5 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{{2 - 0}}{{5 + 0}} = \frac{2}{5}\).

4) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có:

\(1 + 2 + {2^2} + {2^3} +  \cdots  + {2^n} = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{2 - 1}} = {2^{n + 1}} - 1\);

\(1 + 3 + {3^2} + {3^3} +  \cdots  + {3^n} = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{2}\).

Do đó \(L = \lim \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{\frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{2}}} = 2.\lim \frac{{{{2.2}^n} - 1}}{{{{3.3}^n} - 1}} = 2.\lim \frac{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{3 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = 2.\frac{{0 - 0}}{{3 - 0}} = 0\).

5) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có

\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}} - 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = ( - 2)\left[ {\frac{1}{2} \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 1} \right]\);

\(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{{3^n}}}\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{n + 1}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}} = \left( { - \frac{3}{2}} \right)\left[ {\frac{1}{3} \cdot {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n} - 1} \right]\).

Do đó \(L = \lim \frac{{\left( { - 2} \right)\left[ {\frac{1}{2} \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 1} \right]}}{{\left( { - \frac{3}{2}} \right)\left[ {\frac{1}{3} \cdot {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n} - 1} \right]}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{{\frac{1}{2} \cdot 0 - 1}}{{\frac{1}{3} \cdot 0 - 1}} = \frac{4}{3}\).

a) Phương pháp giải

* Phương pháp 1: Rút luỹ thừa bậc cao.

Dấu hiệu nhận biết: Giả sử ta có dãy \({u_n} = \sqrt {2{n^2} + 3n + 5}  - n\), biểu thức trong căn có \(2{n^2}\) là luỹ thừa bậc cao nhất (không quan tâm đến những hạng tử sau), nháp \(\sqrt {2{n^2}}  - n = n\sqrt 2  - n = n\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\), có \(\sqrt 2  - 1 \ne 0\) nên ta sử dụng phương pháp rút luỹ thừa bậc cao.

* Phương pháp 2: Liên hợp.

Dấu hiệu nhận biết: Giả sử ta có dãy \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 3n + 5}  - n\), biểu thức trong căn có \({n^2}\) là luỹ thừa bậc cao nhất (không quan tâm đến những hạng tử sau), xét \(\sqrt {{n^2}}  - n = n - n = 0\) nên ta sử dụng phương pháp liên hợp.

Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào hằng đẳng thức: \(\left\{ \begin{array}{l}(a - b)(a + b) = {a^2} - {b^2}\\(a \pm b)({a^2} \mp ab + {b^2}) = {a^3} \pm {b^3}\end{array} \right.\)

Một số công thức cần nhớ:

\(\sqrt a  - \sqrt b  = \frac{{a - b}}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\);

\(\sqrt a  - b = \frac{{a - {b^2}}}{{\sqrt a  + b}}\);

\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\);

\(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = \frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\);

\(\sqrt[3]{a} + b = \frac{{a + {b^3}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{a}b + {b^2}}}\);

\(\sqrt[3]{a} - b = \frac{{a - {b^3}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{a}b + {b^2}}}\).

b) Ví dụ minh hoạ

Tính giới hạn:

1) \(L = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 3n + 5}  - n} \right)\).

2) \(L = \lim \left( {\sqrt {9{n^2} + 3n - 4}  - 3n + 20} \right)\).

3) \(L = \lim \left( {\sqrt[3]{{n + 2}} - \sqrt[3]{n}} \right)\).

4) \(L = \lim \left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + 3{n^2} - 2}} + 5 - 2n} \right)\).

5) \(L = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1}  - \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2}}}} \right)\).

Giải:

1) Ta có:

\(L = \lim \left[ {\sqrt {{n^2}\left( {\frac{{2{n^2} + 3n + 5}}{{{n^2}}}} \right)}  - n} \right] = \lim \left( {n\sqrt {2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}  - n} \right) = \lim n\left( {\sqrt {2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}  - 1} \right)\)

Vì \(\lim n =  + \infty \) và \(\lim \left( {\sqrt {2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}  - 1} \right) = \sqrt 2  - 1 > 0\) nên \(L =  + \infty \).

2) Ta có:

\(L = \lim 20 - \lim \sqrt {9{n^2} + 3n - 4}  - 3n = 20 + \lim \frac{{3n - 4}}{{\sqrt {9{n^2} + 3n - 4 + 3n} }}\)

\( = 20 + \lim \frac{{n\left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{n}} \right)}}{{n\sqrt {9 + \frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}}}  + 3n}} = 20 + \lim \frac{{3 - \frac{4}{n}}}{{\sqrt {9 + \frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}}}  + 3}} - 20 + \frac{{3 - 0}}{{\sqrt {9 + 0 - 0 + 3} }} = \frac{{41}}{2}\).

3) Ta có: 

\(L = \lim \frac{{n + 2 - n}}{{{{\sqrt[3]{{n + 2}}}^2} + \sqrt[3]{{n + 2}}.\sqrt[3]{n} + {{\sqrt[3]{n}}^2}}} = \lim \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{n\left( {1 + \frac{2}{n}} \right)}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{n\left( {1 + \frac{2}{n}} \right)}}.\sqrt[3]{n} + {{\sqrt[3]{n}}^2}}}\)

\( = \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{n^2}}}\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n} + 1}}} \right]}} = \lim \frac{{\frac{2}{{\sqrt[3]{{{n^2}}}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n} + 1}}}} = \frac{0}{3} = 0\).

4) Ta có: 

\(L = \lim \sqrt[3]{{8{n^3} + 3{n^2} - 2}} + 5 - 2n = \lim 5 + \lim \sqrt[3]{{8{n^3} + 3{n^2} - 2}} - 2n\)

\( = 5 + \lim \sqrt[3]{{8{n^3} + 3{n^2} - 2}} - 2n = 5 + \lim \frac{{8{n^3} + 3{n^2} - 2 - 8{n^3}}}{{\sqrt[3]{{8{n^3} + 3{n^2} - 2}} + \sqrt[3]{{8{n^3} + 3{n^2} - 2}}.2n + 4{n^2}}}\)

\( = 5 + \lim \frac{{3{n^2} - 2}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3}\left( {8 + \frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}}} \right)}^2} + \sqrt {{n^3}\left( {8 + \frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right).2n + 4{n^2}} }}\)

\( = 5 + \lim \frac{{3 - \frac{2}{{{n^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{8 + \frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{8 + \frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}.2 + 4}}}} = 5 + \frac{3}{{4 + 4 + 4}} = \frac{{21}}{4}\).

5) Ta có:

\(L = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1}  - \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2}}}} \right)\)

\( = \lim \left[ {\left( {\sqrt {{n^2} + n + 1}  - n} \right) + \left( {n - \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2}}}} \right)} \right]\)

\( = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1}  - n} \right) + \lim \left( {n - \sqrt[3]{{{n^3} + {n^2}}}} \right)\)

\( = \lim \frac{{{n^2} + n + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1}  + n}} + \lim \frac{{{n^3} - \left( {{n^3} + {n^2}} \right)}}{{{n^2} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2}}}} \right)}^2}}}\)

\( = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + n + 1}  + n}} + \lim \frac{{ - {n^2}}}{{{n^2} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2}}}} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}  + 1}} + \lim \frac{{ - 1}}{{1 + \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n}}}} \right)}^2}}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\).