Cách tính giới hạn của dãy số theo dạng - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Giới hạn của dãy số - Từ điển môn Toán 11

Cách tính giới hạn của dãy số theo dạng - Toán 11

Cách tính giới hạn của dãy số theo dạng

Nội dung chính

1. Cách tính giới hạn dãy số P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các đa thức

2. Cách tính giới hạn dãy số P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các hàm mũ

3. Cách tính giới hạn dãy số chứa căn thức

1. Cách tính giới hạn dãy số P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các đa thức

a) Phương pháp giải

Cho dãy số $(u_{n}) = \frac{P (n)}{Q (n)}$ .

+ Nếu bậc của tử P(n) = bậc của mẫu Q(n) thì $lim \frac{P (n)}{Q (n)} =$ (hệ số bậc cao nhất của tử) : (hệ số bậc cao nhất của mẫu).

+ Nếu bậc của tử P(n) < bậc của mẫu Q(n) thì $lim \frac{P (n)}{Q (n)} = 0$ .

+ Nếu bậc của tử P(n) > bậc của mẫu Q(n) thì $lim \frac{P (n)}{Q (n)} = + \infty$ hoặc $lim \frac{P (n)}{Q (n)} = - \infty$ (phụ thuộc vào hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu).

b) Ví dụ minh hoạ

Tính giới hạn:

1) $L = lim \frac{4 n^{2} - n - 1}{3 + 2 n^{2}}$ .

2) $L = lim \frac{n^{2} - n + 3}{n^{3} + 2 n}$ .

3) $L = lim \frac{2 n^{3} - 11 n + 1}{n^{2} - 2}$ .

4) $L = lim_{n \to \infty} \frac{1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2 n + 1)}{3 n^{2} + 4}$ .

5) $L = lim [\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} + . . . + \frac{1}{n (n + 1)}]$ .

Giải:

1) Ta có $L = lim \frac{n^{2} (4 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (\frac{3}{n^{2}} + 2)} = lim \frac{4 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}{\frac{3}{n^{2}} + 2} = \frac{4 - 0 - 0}{0 + 2} = 2$ .

2) Ta có $L = lim \frac{n^{2} (1 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^{2}})}{n^{3} (1 + \frac{2}{n^{2}})} = lim (\frac{1}{n} . \frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n^{2}}}) = 0. \frac{1 - 0 + 0}{1 + 0} = 0$ .

3) $L = lim \frac{n^{3} (2 - \frac{11}{n} + \frac{1}{n^{3}})}{n^{2} (1 - \frac{2}{n^{2}})} = lim (n . \frac{2 - \frac{11}{n} + \frac{1}{n^{3}}}{1 - \frac{2}{n^{2}}}) = + \infty$ .

(Vì $lim n = + \infty$ và $lim (\frac{2 - \frac{11}{n} + \frac{1}{n^{3}}}{1 - \frac{2}{n^{2}}}) = 2 > 0$ ).

4) Xét cấp số cộng 1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n + 1 có số hạng đầu tiên $u_{1} = 1$ , công sai $d = 2$ và số hạng cuối cùng là $u_{m} = 2 n + 1$ ta có:

$u_{1} + (m - 1) d = 2 n + 1 \Leftrightarrow 1 + 2 (m - 1) = 2 n + 1 \Leftrightarrow m = n + 1$ .

Vậy cấp số cộng có $n + 1$ số hạng. Suy ra tổng:

$S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 2 n + 1 = \frac{m}{2} (u_{1} + u_{m}) = \frac{n + 1}{2} (1 + 2 n + 1) = n^{2} + 2 n + 1$ .

Vì thế $L = lim \frac{n^{2} + 2 n + 1}{3 n^{2} + 4} = lim \frac{n^{2} (1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (3 + \frac{4}{n^{2}})}$

$= lim \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{1 + 0 + 0}{3 + 0} = \frac{1}{3}$ .

5) Số hạng tổng quát $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ ; $(\forall k = 1, 2, \dots, n)$ do đó:

$L = lim (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = lim (1 - \frac{1}{n + 1})$

$= lim (\frac{n}{n + 1}) = lim \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$ .

2. Cách tính giới hạn dãy số P(n)/Q(n) với P(n), Q(n) là các hàm mũ

a) Phương pháp giải

Cho dãy số $(u_{n}) = \frac{P (n)}{Q (n)}$ .

Chia cả tử và mẫu cho $a^{n}$ với $| a |$ là cơ số lớn nhất (áp dụng công thức $a^{m + n} = a^{m} . a^{n}$ và $a^{m - n} = \frac{a^{m}}{a^{n}}$ ).

Áp dụng công thức $lim q^{n} = 0$ với $| q | < 1$ .

b) Ví dụ minh hoạ

Tính giới hạn:

1) $L = lim \frac{1 - 3^{n} + {4.5}^{n + 2}}{2^{n + 1} + 3^{n + 2} + 5^{n + 1}}$ .

2) $L = lim \frac{4^{n + 2} + 6^{n + 1}}{5^{n} - 1 + {2.6}^{n + 3}}$ .

3) $L = lim \frac{2^{n} - 3^{n - 2} + {3.5}^{n + 2}}{2^{n - 1} + 3^{n + 2} + 5^{n + 1}}$ .

4) $L = lim \frac{1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n}}{{5.2}^{n} + 1}$ .

5) $L = lim \frac{1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n}}{1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n}}$ .

6) $L = lim \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n}}}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^{n}}}$ .

Giải:

1) Chia cả tử và mẫu cho $5^{n}$ , ta có:

$L = lim \frac{\frac{1}{5^{n}} - \frac{3^{n}}{5^{n}} + {4.5}^{2}}{\frac{2^{n + 1}}{5^{n}} + \frac{3^{n + 2}}{5^{n}} + \frac{5^{n + 1}}{5^{n}}} = lim \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} - {(\frac{3}{5})}^{n} + 100}{2 {(\frac{2}{5})}^{n} + 9 {(\frac{3}{5})}^{n} + 5} = \frac{0 - 0 + 100}{0 + 0 + 5} = 20$ .

2) $L = lim \frac{4^{n + 2} + 6^{n + 1}}{5^{n} - 1 + {2.6}^{n + 3}} = lim \frac{16 {(\frac{2}{3})}^{n} + 6}{\frac{1}{5} {(\frac{5}{6})}^{n} + 432} = \frac{0 + 6}{0 + 432} = \frac{1}{72}$ .

3) $L = lim \frac{2^{n} - 3^{n - 2} + {3.5}^{n + 2}}{2^{n - 1} + 3^{n + 2} + 5^{n + 1}} = lim \frac{{(\frac{2}{5})}^{n} - \frac{1}{9} {(\frac{3}{5})}^{n} + 75}{\frac{1}{2} {(\frac{2}{5})}^{n} + 9 {(\frac{3}{5})}^{n} + 5} = \frac{0 - 0 + 75}{0 + 0 + 5} = 15$ .

4) Xét cấp số nhân $1, 2, 2^{2}, 2^{3}, \dots, 2^{n}$ có số hạng đầu tiên $u_{1} = 1$ , công bội $q = 2$ và có số hạng tổng quát $u_{m} = 2^{n} \Leftrightarrow u_{1} q^{m - 1} = 2^{n} \Leftrightarrow m - 1 = n \Leftrightarrow m = n + 1$ .

Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân trên là:

$S_{m} = u_{1} \frac{q^{m} - 1}{q - 1} = \frac{2^{n + 1} - 1}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 1$ .

Suy ra $L = lim \frac{2^{n + 1} - 1}{{5.2}^{n} + 1} = lim \frac{2 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{5 + {(\frac{1}{2})}^{n}} = \frac{2 - 0}{5 + 0} = \frac{2}{5}$ .

4) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có:

$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n} = \frac{2^{n + 1} - 1}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 1$ ;

$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n} = \frac{3^{n + 1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n + 1} - 1}{2}$ .

Do đó $L = lim \frac{2^{n + 1} - 1}{\frac{3^{n + 1} - 1}{2}} = 2. lim \frac{{2.2}^{n} - 1}{{3.3}^{n} - 1} = 2. lim \frac{2. {(\frac{2}{3})}^{n} - {(\frac{1}{3})}^{n}}{3 - {(\frac{1}{3})}^{n}} = 2. \frac{0 - 0}{3 - 0} = 0$ .

5) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{2^{n}} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1} = (- 2) [\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} - 1]$ ;

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{3^{n}} \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1} - 1}{\frac{1}{3} - 1} = (- \frac{3}{2}) [\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{n} - 1]$ .

Do đó $L = lim \frac{(- 2) [\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} - 1]}{(- \frac{3}{2}) [\frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{n} - 1]} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot 0 - 1}{\frac{1}{3} \cdot 0 - 1} = \frac{4}{3}$ .

3. Cách tính giới hạn dãy số chứa căn thức

a) Phương pháp giải

* Phương pháp 1: Rút luỹ thừa bậc cao.

Dấu hiệu nhận biết: Giả sử ta có dãy $u_{n} = \sqrt{2 n^{2} + 3 n + 5} - n$ , biểu thức trong căn có $2 n^{2}$ là luỹ thừa bậc cao nhất (không quan tâm đến những hạng tử sau), nháp $\sqrt{2 n^{2}} - n = n \sqrt{2} - n = n (\sqrt{2} - 1)$ , có $\sqrt{2} - 1 \neq 0$ nên ta sử dụng phương pháp rút luỹ thừa bậc cao.

* Phương pháp 2: Liên hợp.

Dấu hiệu nhận biết: Giả sử ta có dãy $u_{n} = \sqrt{n^{2} + 3 n + 5} - n$ , biểu thức trong căn có $n^{2}$ là luỹ thừa bậc cao nhất (không quan tâm đến những hạng tử sau), xét $\sqrt{n^{2}} - n = n - n = 0$ nên ta sử dụng phương pháp liên hợp.

Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào hằng đẳng thức: ${\begin{cases} (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} \\ (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2}) = a^{3} \pm b^{3} \end{cases}$

Một số công thức cần nhớ:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ ;

$\sqrt{a} - b = \frac{a - b^{2}}{\sqrt{a} + b}$ ;

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \frac{a + b}{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^{2}}}$ ;

$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = \frac{a - b}{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^{2}}}$ ;

$\sqrt[3]{a} + b = \frac{a + b^{3}}{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{a} b + b^{2}}$ ;

$\sqrt[3]{a} - b = \frac{a - b^{3}}{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{a} b + b^{2}}$ .

b) Ví dụ minh hoạ

Tính giới hạn:

1) $L = lim (\sqrt{2 n^{2} + 3 n + 5} - n)$ .

2) $L = lim (\sqrt{9 n^{2} + 3 n - 4} - 3 n + 20)$ .

3) $L = lim (\sqrt[3]{n + 2} - \sqrt[3]{n})$ .

4) $L = lim (\sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n^{2} - 2} + 5 - 2 n)$ .

5) $L = lim (\sqrt{n^{2} + n + 1} - \sqrt[3]{n^{3} + n^{2}})$ .

Giải:

1) Ta có:

$L = lim [\sqrt{n^{2} (\frac{2 n^{2} + 3 n + 5}{n^{2}})} - n] = lim (n \sqrt{2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - n) = lim n (\sqrt{2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - 1)$

Vì $lim n = + \infty$ và $lim (\sqrt{2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - 1) = \sqrt{2} - 1 > 0$ nên $L = + \infty$ .

2) Ta có:

$L = lim 20 - lim \sqrt{9 n^{2} + 3 n - 4} - 3 n = 20 + lim \frac{3 n - 4}{\sqrt{9 n^{2} + 3 n - 4 + 3 n}}$

$= 20 + lim \frac{n (\frac{3}{n} - \frac{4}{n})}{n \sqrt{9 + \frac{3}{n} - \frac{4}{n^{2}}} + 3 n} = 20 + lim \frac{3 - \frac{4}{n}}{\sqrt{9 + \frac{3}{n} - \frac{4}{n^{2}}} + 3} - 20 + \frac{3 - 0}{\sqrt{9 + 0 - 0 + 3}} = \frac{41}{2}$ .

3) Ta có:

$L = lim \frac{n + 2 - n}{{\sqrt[3]{n + 2}}^{2} + \sqrt[3]{n + 2} . \sqrt[3]{n} + {\sqrt[3]{n}}^{2}} = lim \frac{2}{{(\sqrt[3]{n (1 + \frac{2}{n})})}^{2} + \sqrt[3]{n (1 + \frac{2}{n})} . \sqrt[3]{n} + {\sqrt[3]{n}}^{2}}$

$= lim \frac{2}{\sqrt[3]{n^{2}} [{(\sqrt[3]{1 + \frac{2}{n}})}^{2} + \sqrt[3]{1 + \frac{2}{n} + 1}]} = lim \frac{\frac{2}{\sqrt[3]{n^{2}}}}{{(\sqrt[3]{1 + \frac{2}{n}})}^{2} + \sqrt[3]{1 + \frac{2}{n} + 1}} = \frac{0}{3} = 0$ .

4) Ta có:

$L = lim \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n^{2} - 2} + 5 - 2 n = lim 5 + lim \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n^{2} - 2} - 2 n$

$= 5 + lim \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n^{2} - 2} - 2 n = 5 + lim \frac{8 n^{3} + 3 n^{2} - 2 - 8 n^{3}}{\sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n^{2} - 2} + \sqrt[3]{8 n^{3} + 3 n^{2} - 2} .2 n + 4 n^{2}}$

$= 5 + lim \frac{3 n^{2} - 2}{{(\sqrt[3]{n^{3} (8 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^{3}})})}^{2} + \sqrt{n^{3} (8 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^{3}}) .2 n + 4 n^{2}}}$

$= 5 + lim \frac{3 - \frac{2}{n^{2}}}{{(\sqrt[3]{8 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^{2}}})}^{2} + \sqrt[3]{8 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^{3}} .2 + 4}} = 5 + \frac{3}{4 + 4 + 4} = \frac{21}{4}$ .

5) Ta có:

$L = lim (\sqrt{n^{2} + n + 1} - \sqrt[3]{n^{3} + n^{2}})$

$= lim [(\sqrt{n^{2} + n + 1} - n) + (n - \sqrt[3]{n^{3} + n^{2}})]$

$= lim (\sqrt{n^{2} + n + 1} - n) + lim (n - \sqrt[3]{n^{3} + n^{2}})$

$= lim \frac{n^{2} + n + 1 - n^{2}}{\sqrt{n^{2} + n + 1} + n} + lim \frac{n^{3} - (n^{3} + n^{2})}{n^{2} + n \sqrt[3]{n^{3} + n^{2}} + {(\sqrt[3]{n^{3} + n^{2}})}^{2}}$

$= lim \frac{n + 1}{\sqrt{n^{2} + n + 1} + n} + lim \frac{- n^{2}}{n^{2} + n \sqrt[3]{n^{3} + n^{2}} + {(\sqrt[3]{n^{3} + n^{2}})}^{2}}$

$= \frac{1 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 1} + lim \frac{- 1}{1 + \sqrt[3]{1 + \frac{1}{n}} + {(\sqrt[3]{1 + \frac{1}{n}})}^{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .