Cách tính giới hạn hàm số theo dạng - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Giới hạn của hàm số - Từ điển môn Toán 11

Cách tính giới hạn hàm số theo dạng - Toán 11

Cách tính giới hạn hàm số theo dạng

Nội dung chính

1. Tính giới hạn vô định dạng 0/0 với tử và mẫu là các đa thức

2. Tính giới hạn vô định dạng 0/0 với chứa căn thức

3. Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cực

4. Tính giới hạn một bên

5. Tính giới hạn của hàm số lượng giác

1. Tính giới hạn vô định dạng 0/0 với tử và mẫu là các đa thức

a) Phương pháp giải:

Khử dạng vô định bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng sơ đồ Hoocne, sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định.

Lưu ý:

+ $f (x) = a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ với $x_{1}$ , $x_{2}$ là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Học sinh thường quên nhân thêm a.

+ Hằng đẳng thức: $x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + . . . + x^{2} + x + 1)$ .

b) Ví dụ minh hoạ:

1) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 14}{x^{2} - 4}$ .

Giải:

$A = lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 14}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{2 (x - 2) (x + \frac{7}{2})}{(x - 2) (x + 2)} = lim_{x \to 2} \frac{2 x + 7}{x + 2} = \frac{11}{4}$ .

2) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 2} \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3}{4 x^{3} - 13 x^{2} + 4 x - 3}$ .

Giải:

Sử dụng sơ đồ Hoocne (đầu rơi, nhân tới, cộng chéo):

Phân tích $2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3$ thành nhân tử:

Suy ra $2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (2 x^{2} + x + 1)$ .

Phân tích $4 x^{3} - 13 x^{2} + 4 x - 3$ thành nhân tử:

Suy ra $4 x^{3} - 13 x^{2} + 4 x - 3 = (x - 3) (4 x^{2} - x + 1)$ .

$A = lim_{x \to 3} \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3}{4 x^{3} - 13 x^{2} + 4 x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (2 x^{2} + x + 1)}{(x - 3) (4 x^{2} - x + 1)} = lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} + x + 1}{4 x^{2} - x + 1} = \frac{11}{17}$ .

3) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 1} \frac{x^{100} - 2 x + 1}{x^{50} - 2 x + 1}$ .

Giải:

Ta có $A = lim_{x \to 1} \frac{x^{100} - 2 x + 1}{x^{50} - 2 x + 1} = lim_{x \to 1} \frac{(x^{100} - x) - (x - 1)}{(x^{50} - x) - (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{x (x^{99} - 1) - (x - 1)}{x (x^{49} - 1) - (x - 1)}$

$= lim_{x \to 1} \frac{x (x - 1) (x^{98} + x^{97} + x^{96} + \dots + x + 1) - (x - 1)}{x (x - 1) (x^{48} + x^{47} + x^{46} + \dots + x + 1) - (x - 1)}$

$= lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{99} + x^{98} + x^{97} + \dots + x^{2} + x - 1)}{(x - 1) (x^{49} + x^{48} + x^{47} + \dots + x^{2} + x - 1)}$

$= lim_{x \to 1} \frac{(x^{99} + x^{98} + x^{97} + \dots + x^{2} + x - 1)}{(x^{49} + x^{48} + x^{47} + \dots + x^{2} + x - 1)} = \frac{98}{48} = \frac{49}{24}$ .

2. Tính giới hạn vô định dạng 0/0 với chứa căn thức

a) Phương pháp giải:

Nhân liên hợp để khử dạng vô định.

Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào hằng đẳng thức: ${\begin{cases} (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} \\ (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2}) = a^{3} \pm b^{3} \end{cases}$

Một số công thức cần nhớ:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ ;

$\sqrt{a} - b = \frac{a - b^{2}}{\sqrt{a} + b}$ ;

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \frac{a + b}{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^{2}}}$ ;

$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = \frac{a - b}{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^{2}}}$ ;

$\sqrt[3]{a} + b = \frac{a + b^{3}}{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{a} b + b^{2}}$ ;

$\sqrt[3]{a} - b = \frac{a - b^{3}}{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{a} b + b^{2}}$ .

b) Ví dụ minh hoạ:

1) Tính giới hạn $B = lim_{x \to 6} \frac{3 - \sqrt{x + 3}}{x - 6}$ .

Giải:

$B = lim_{x \to 6} \frac{3 - \sqrt{x + 3}}{x - 6} = lim_{x \to 6} \frac{(3 - \sqrt{x + 3}) (3 + \sqrt{x + 3})}{(x - 6) (3 + \sqrt{x + 3})}$

$= lim_{x \to 6} \frac{9 - (x + 3)}{(x - 6) (3 + \sqrt{x + 3})} = lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{(x - 6) (3 + \sqrt{x + 3})} = lim_{x \to 6} \frac{- 1}{3 + \sqrt{x + 3}} = \frac{- 1}{3 + \sqrt{6 + 3}} = - \frac{1}{6}$ .

2) Tính giới hạn $E = lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - \sqrt{5 x - 6}}{x - 2}$ .

Giải:

Giải phương trình $\sqrt[3]{3 x + 2} - \sqrt{5 x - 6} = 0$ (bấm máy tính) được nghiệm x = 2, ta thêm bớt 2:

Ta có $E = lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - 2 + 2 - \sqrt{5 x - 6}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - 2}{x - 2} + lim_{x \to 2} \frac{2 - \sqrt{5 x - 6}}{x - 2}$ .

$A = lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{3 x + 2 - 8}{(x - 2) (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4)}$

$= lim_{x \to 2} \frac{3 (x - 2)}{(x - 2) (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4)} = lim_{x \to 2} \frac{3}{\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4} = \frac{1}{4}$ .

$B = lim_{x \to 2} \frac{2 - \sqrt{5 x - 6}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{4 - (5 x - 6)}{(x - 2) (2 + \sqrt{5 x - 6})} = lim_{x \to 2} \frac{5 (2 - x)}{(x - 2) (2 + \sqrt{5 x - 6})}$

$= lim_{x \to 2} \frac{- 5}{2 + \sqrt{5 x - 6}} = - \frac{5}{4}$ .

Vậy $E = A + B = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} = - 1$ .

3) Tính giới hạn $L = lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt[3]{5 x - 3} + 2}{x + 1}$ .

Giải:

$L = lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt[3]{5 x - 3} + 2}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{5 x - 3 + 8}{(x + 1) (\sqrt[3]{{(5 x - 3)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{5 x - 3} + 4)}$

$= lim_{x \to - 1} \frac{5 x + 5}{(x + 1) (\sqrt[3]{{(5 x - 3)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{5 x - 3} + 4)} = lim_{x \to - 1} \frac{5}{\sqrt[3]{{(5 x - 3)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{5 x - 3} + 4} = \frac{5}{12}$ .

4) Tính giới hạn $lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - \sqrt{3 x - 2}}{x - 2}$ .

Giải:

Giải phương trình $\sqrt[3]{3 x + 2} - \sqrt{3 x - 2} = 0$ (bấm máy tính) được nghiệm x = 2, ta thêm bớt 2:

Ta có $E = lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - 2 - \sqrt{3 x - 2} + 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - 2}{x - 2} - lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3 x - 2} - 2}{x - 2}$

$= lim_{x \to 2} \frac{3 x + 2 - 8}{(x - 2) (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4)} - lim_{x \to 2} \frac{3 x - 2 - 4}{(x - 2) (\sqrt{3 x - 2} + 2)}$

$= lim_{x \to 2} \frac{3}{\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4} - lim_{x \to 2} \frac{3}{\sqrt{3 x - 2} + 2} = \frac{3}{12} - \frac{3}{4} = - \frac{1}{2}$ .

3. Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cực

a) Phương pháp giải:

- Đối với dạng đa thức không cần, ta rút bậc cao và áp dụng công thức khi $x \to + \infty$ .

+ $lim_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty$ ;

+ $lim_{x \to - \infty} x^{k} = {\begin{array}{l} + \infty & k h i \\ - \infty & k h i \end{array} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} k = 2 l \\ k = 2 l + 1 \end{matrix}$ ;

+ $lim_{x \to + \infty} \frac{c}{x^{k}} = 0$ (c hằng số).

- Đối với dạng phân số không cần, ta làm tương tự như giới hạn dãy số, tức rút bậc cao nhất của tử và mẫu, sau đó áp dụng công thức trên.

- Ngoài việc đưa ra khỏi căn bậc chẵn cần có trị tuyệt đối, học sinh cần phân biệt khi nào đưa ra ngoài căn, khi nào liên hợp. Phương pháp suy luận cũng tương tự như giới hạn của dãy số, nhưng cần phân biệt khi $x \to + \infty$ hoặc $x \to - \infty$ .

b) Ví dụ minh hoạ:

1) Tính giới hạn $A = lim_{x \to + \infty} (- x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1)$ .

$A = lim_{x \to + \infty} x^{3} (- 1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = - \infty$ (vì $lim_{x \to + \infty} x^{3} = + \infty$ và $lim_{x \to + \infty} (- 1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) = - 1$ ).

2) Tính giới hạn $B = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + 3 x + 1}{2 - 6 x^{2} - 6 x^{3}}$ .

Giải:

$B = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} (1 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})}{x^{3} (\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x} - 6)} = lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x} - 6} = \frac{1 + 0 + 0}{0 - 0 - 6} = - \frac{1}{6}$ .

3) Tính giới hạn $C = lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} + x + 1} + 2 x$ .

Giải:

$C = lim_{x \to - \infty} [\sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})} + 2 x] = lim_{x \to - \infty} (| x | \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 2 x)$

$= lim_{x \to - \infty} (- x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 2 x) = lim_{x \to - \infty} x (2 - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}) = - \infty$ .

(Vì $lim_{x \to - \infty} x = - \infty$ và $lim_{x \to - \infty} [2 - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}] = 2 - 1 = 1 > 0)$ .

4. Tính giới hạn một bên

a) Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về giới hạn hàm số.

$x \to {x_{0}}^{+} \Rightarrow x > x_{0} \Leftrightarrow x - x_{0} > 0$ ;

$x \to {x_{0}}^{-} \Rightarrow x < x_{0} \Leftrightarrow x - x_{0} < 0$ .

b) Ví dụ minh hoạ:

1) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x - 3}{x - 1}$ .

Giải:

${\begin{array}{l} lim_{x \to 1^{+}} 2 x - 3 = - 1 < 0 \\ \begin{array}{l} lim_{x \to 1^{+}} x - 1 = 0 \\ x \to 1^{+} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0 \end{array} \end{array} \Rightarrow A = lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x - 3}{x - 1} = - \infty$ .

2) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 15}{x - 2}$ .

Giải:

${\begin{array}{l} lim_{x \to 2^{+}} x - 15 = - 13 < 0 \\ lim_{x \to 2^{+}} x - 2 = 0 \\ x \to 2^{+} \Rightarrow x > 2 \Rightarrow x - 2 > 0 \end{array} \Rightarrow A = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 15}{x - 2} = - \infty$

3) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 3^{-}} \frac{2 - x}{3 - x}$ .

Giải:

${\begin{array}{l} lim_{x \to 3^{-}} (2 - x) = - 1 < 0 \\ lim_{x \to 3^{-}} (3 - x) = 0 \\ x \to 3^{-} \Rightarrow x < 3 \Rightarrow 3 - x > 0 \end{array} \Rightarrow A = lim_{x \to 3^{-}} \frac{2 - x}{3 - x} = - \infty$ .

4) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x + 1}{2 x - 4}$ .

Giải:

${\begin{array}{l} lim_{x \to 2^{+}} (x + 1) = 3 > 0 \\ lim_{x \to 2^{+}} (2 x - 4) = 0 \\ x \to 2^{+} \Rightarrow x > 2 \Rightarrow 2 x - 4 > 0 \end{array} \Rightarrow A = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x + 1}{2 x - 4} = + \infty$ .

5) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 4^{-}} \frac{x - 5}{{(x - 4)}^{2}}$ .

Giải:

${\begin{array}{l} lim_{x \to 4^{-}} (x - 5) = - 1 < 0 \\ lim_{x \to 4^{-}} {(x - 4)}^{2} = 0 \\ x \to 4^{-} \Rightarrow {(x - 4)}^{2} > 0 \end{array} \Rightarrow A = lim_{x \to 4^{-}} \frac{x - 5}{{(x - 4)}^{2}} = - \infty$ .

6) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 3^{-}} \frac{3 x - 8}{{(3 - x)}^{2}}$ .

Giải:

${\begin{array}{l} lim_{x \to 3^{-}} (3 x - 8) = 1 > 0 \\ lim_{x \to 3^{-}} {(3 - x)}^{2} = 0 \\ x \to 3^{-} \Rightarrow {(3 - x)}^{2} > 0 \end{array} \Rightarrow A = lim_{x \to 3^{-}} \frac{3 x - 8}{{(3 - x)}^{2}} = + \infty$ .

7) Tính giới hạn $lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

Giải:

Ta có $lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{{(x + 3)}^{2}} = lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{(2 x - 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}} = lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{2 x - 1}{x + 3}$ .

${\begin{array}{l} lim_{x \to {(- 3)}^{+}} (2 x - 1) = - 7 < 0 \\ lim_{x \to {(- 3)}^{+}} (x + 3) = 0 \\ x \to {(- 3)}^{+} \Rightarrow x > - 3 \Rightarrow x + 3 > 0 \end{array} \Rightarrow A = lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{{(x + 3)}^{2}} = - \infty$ .

8) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4})$ .

Giải:

Ta có: $A = lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4}) = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 2)}$ .

${\begin{array}{l} lim_{x \to 2^{-}} (x + 1) = 3 > 0 \\ lim_{x \to 2^{-}} [(x - 2) (x + 2)] = 0 \\ x \to 2^{-} \Rightarrow x < 2 \Rightarrow (x - 2) (x + 2) < 0 \end{array} \Rightarrow A = lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4}) = - \infty$ .

9) Tính giới hạn $B = lim_{x \to 2^{-}} \frac{| 2 - x |}{2 x^{2} - 5 x + 2}$ .

Giải:

Vì $x \to 2^{-} \Rightarrow x < 2 \Rightarrow | 2 - x | = 2 - x$

Do đó $B = lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 - x}{(x - 2) (2 x - 1)} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{- 1}{2 x - 1} = - \frac{1}{3}$ .

10) Tính giới hạn $B = lim_{x \to 3^{+}} \frac{| x - 3 |}{5 x - 15}$ .

Giải:

Vì $x \to 3^{+} \Rightarrow x > 3 \Rightarrow | x - 3 | = x - 3$ .

Do đó $B = lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 3}{5 (x - 3)} = lim_{x \to 3^{+}} \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$ .

5. Tính giới hạn của hàm số lượng giác

a) Phương pháp giải:

- Sử dụng các định lí về giới hạn hàm số.

- Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác.

Lưu ý: $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

b) Ví dụ minh hoạ:

1) Tính giới hạn $A = lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{2 \sin x - 1}{4 \cos^{2} x - 3}$ | Đs: $A = - \frac{1}{2}$ .

Giải:

$A = lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{2 \sin x - 1}{4 \cos^{2} x - 3} = lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{2 \sin x - 1}{4 (1 - \sin^{2} x) - 3} = lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{2 \sin x - 1}{1 - 4 \sin^{2} x} = lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{- 1}{1 + 2 \sin x} = - \frac{1}{2}$ .

2) Tính giới hạn $A = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x - 1}{2 \cos^{2} x - 1}$ .

Giải:

$A = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x - 1}{2 \cos^{2} x - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x - 1}{2 (1 - \sin^{2} x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x - 1}{1 - 2 \sin^{2} x} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 1}{1 + \sqrt{2} \sin x} = - \frac{1}{2}$ .

3) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 0} \frac{\cos 4 x - 1}{\sin 4 x}$ .

Giải:

$A = lim_{x \to 0} \frac{\cos 4 x - 1}{\sin 4 x} = lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin^{2} 2 x}{2 \sin 2 x \cos 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{- \sin 2 x}{\cos 2 x} = 0$ .

4) Tính giới hạn $A = lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin 2 x - \cos 2 x}{1 + \sin 2 x - \cos 2 x}$ .

Giải:

$A = lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin 2 x - \cos 2 x}{1 + \sin 2 x - \cos 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \sin x \cos x - (\cos^{2} x - \sin^{2} x)}{1 + 2 \sin x \cos x - (\cos^{2} x - \sin^{2} x)}$

$= lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x}{2 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x} = lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x (\sin x - \cos x)}{2 \sin x (\sin x + \cos x)} = lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} = - 1$ .