Cách tính góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cá..

Cách tính góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ - Toán 10

Cách tính góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ

Nội dung chính

1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ

3. Ví dụ minh hoạ tính góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ

1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc.

- Nếu $Δ_{1}$ không vuông góc với $Δ_{2}$ thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

- Nếu $Δ_{1}$ vuông góc với $Δ_{2}$ thì ta nói góc giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng $90^{o}$ .

Ta quy ước: Nếu $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng $0^{o}$ .

Như vậy góc $α$ giữa hai đường thẳng luôn thoả mãn: $0^{o} \leq α \leq 90^{o}$ .

Góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ được kí hiệu là $(ˆ Δ_{1}, Δ_{2})$ hoặc $(Δ_{1} Δ_{2})$ .

2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ

Cách 1: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\to u_{1} = (a_{1}; b_{1})$ , $\to u_{1} = (a_{2}; b_{2})$ . Ta có:

$cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣ ∣ \to u_{1} . \to u_{2} ∣ ∣}{∣ ∣ \to u_{1} ∣ ∣ . ∣ ∣ \to u_{2} ∣ ∣} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}$ .

Cách 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\to n_{1} = (a_{1}; b_{1})$ , $\to n_{2} = (a_{2}; b_{2})$ . Ta có:

$cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣ ∣ \to n_{1} . \to n_{2} ∣ ∣}{∣ ∣ \to n_{1} ∣ ∣ . ∣ ∣ \to n_{2} ∣ ∣} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}$ .

3. Ví dụ minh hoạ tính góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ

1) Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong các trường hợp sau:

a) $d_{1} : 2 x + 4 y + 5 = 0$ và $d_{2} : 3 x + y + 2022 = 0$ ;

b) $d_{1} : x + 2 y + 1 = 0$ và $d_{2} : {\begin{matrix} x = t y = 99 + 2 t \end{matrix}$ ;

c) $d_{1} : {\begin{matrix} x = 2 + 2 t y = 3 - 7 t \end{matrix}$ và $d_{2} : {\begin{matrix} x = 2022 + 4 t^{'} y = 2023 - 14 t^{'} \end{matrix}$ .

Giải:

a) Ta có: $cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{| 2.3 + 4.1 |}{\sqrt{2^{2} + 4^{2}} . \sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Suy ra $(d_{1}, d_{2}) = 45^{o}$ .

b) $d_{2}$ có phương trình tổng quát là $2 x - y + 99 = 0$ . Ta có: $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 1.2 + 2. (- 1) = 0$ , suy ra $(d_{1}, d_{2}) = 90^{o}$ .

c) Hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\to u_{1} = (2; - 7)$ , $\to u_{2} = (4; - 14)$ . Ta có $\to u_{2} = 2 \to u_{1}$ , do đó $\to u_{1} / / \to u_{2}$ , suy ra $(d_{1}, d_{2}) = 0^{o}$ .

2) Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : {\begin{matrix} x = - 1 + \sqrt{3} t_{1} y = 1 + t_{1} \end{matrix}$ và $Δ_{2} : {\begin{matrix} x = - 1 + \sqrt{3} t_{2} y = 4 - t_{2} \end{matrix}$

b) $Δ_{1} : 3 x + y - 10 = 0$ và $Δ_{2} : - 2 x + y - 7 = 0$ .

Giải:

a) $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\to u_{1} = (\sqrt{3}; 1)$ .

$Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\to u_{2} = (\sqrt{3}; - 1)$ .

Do đó, ta có: $cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣ ∣ \sqrt{3} . \sqrt{3} + 1. (- 1) ∣ ∣}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 60^{o}$ .

b) $Δ_{1}$ có vectơ pháp tuyến $\to n_{1} = (3; 1)$ , $Δ_{2}$ có vectơ pháp tuyến $\to n_{2} = (- 2; 1)$ . Do đó, ta có:

$cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | cos (\to n_{1}, \to n_{2}) | = \frac{| 3. (- 2) + 1.1 |}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 45^{o}$ .