Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.

- Đường thẳng $\Delta$ vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

- Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với hai đường thẳng a, b được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

- Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, kí hiệu $d(a,b)$.

Trong hình, ta có $d(a,b)=MN$.

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta thực hiện:

TH1: a không vuông góc với b.

- B1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.

- B2: Xác định hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P).

- B3: Xác định giao điểm K của a’ và b.

- B4: Xác định hình chiếu vuông góc H của K trên a.

- B4: Khi đó, $d(a,b)=d\left(a,\left(P\right)\right)=HK$. Tính HK.

TH2: a vuông góc với b.

- B1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a.

- B2: Xác định giao điểm H của a và (P).

- B3: Xác định hình chiếu vuông góc K của H trên b.

- B4: Khi đó, $d(a,b)=HK$.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là giao điểm của AC và BD, AA’ = a, AA’ vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Tính:

a) $d(AC,A^{\prime }{B}^{\prime })$;

b) $d(C{C}^{\prime },BD)$.

Giải:

a) Vì AA’ vuông góc với cả hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) nên AA’ ⊥ AC, AA’ ⊥ A’B’. Suy ra đoạn thẳng AA’ là đoạn vuông góc chung của AC và A’B’.

Vậy $d(AC,A^{\prime }{B}^{\prime })=A{A}^{\prime }=a$.

b) Vì CC’ vuông góc với (ABCD) nên CC’ ⊥ OC. Do đáy ABCD là hình vuông có O là giao điểm của AC và BD nên BD ⊥ OC. Suy ra đoạn thẳng OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.

Vậy $d(C{C}^{\prime },BD)=OC=a\sqrt{2}$.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) SB và CD;

b) AB và SC.

Giải:

a) Ta có BC ⊥ SA và BC ⊥ AB, suy ra BC ⊥ SB.

Mặt khác BC ⊥ CD, suy ra BC là đoạn vuông góc chung của hai đường SB và CD. Ta có $d(SB,CD)=BC=a$.

b) Cách 1. Ta có $AB\perp \left(SAD\right)$ và SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD). Vẽ $AK\perp SD$, KE // AB, EF // AK.

Ta có $AB\perp AK$, $AK\perp SD$, suy ra $AK\perp SC$. Do EF // AK, suy ra ta cũng có $EF\perp AB$ và EF cắt AB tại F, $EF\perp SC$ và EF cắt SC tại E.

Các kết quả trên chứng tỏ EF là đoạn vuông góc chung của AB và SC.

Trong tam giác SAD vuông cân tại A ta có $AK=\frac{SD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $d(AB,SC)=EF=AK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Cách 2. Ta có mặt phẳng (SCD) chứa SC và song song với AB, suy ra:

$d(AB,SC)=d(AB,(SCD\left)\right)=d(A,(SCD\left)\right)=AK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.