Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình:

(P): Ax + By + Cz + D = 0, $A^2+B^2+C^2\ne 0$.

(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0, $A{}^{\prime 2}+B{}^{\prime 2}+C{}^{\prime 2}\ne 0$.

(P) và (Q) song song khi $\frac{A}{A^{\prime }}=\frac{B}{B^{\prime }}=\frac{C}{C^{\prime }}\ne \frac{D}{D^{\prime }}$.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song với nhau:

(P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0.

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên, ta thực hiện:

Bước 1: Tìm một điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ thuộc (P), bằng cách:

- Chọn giá trị $x_0$, $y_0$ bất kì (nên chọn các giá trị dễ tính toán như 0; 1;..).

- Thay $x_0$, $y_0$ vào phương trình của (P), giải phương trình tìm $z_0$.

- Kết luận điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$.

Bước 2: Tính khoảng cách từ $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ đến (Q) theo công thức:

$d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

* Lưu ý: Ở B1, có thể chọn giá trị $x_0$, $z_0$ để tìm $y_0$; hoặc chọn $y_0$, $z_0$ rồi tìm $x_0$.

Ví dụ minh hoạ:

1) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 9 = 0 và (Q): 4x – 2y – 4z – 6 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải:

Vì $\frac{2}{4}=\frac{-1}{-2}=\frac{-2}{-4}\ne \frac{-9}{-6}$ nên (P) // (Q).

Xét phương trình của (P): 2x – y – 2z – 9 = 0 , cho x = z = 0, ta tính được y = -9.

Vậy M(0; -9; 0) là một điểm thuộc (P).

Ta có $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(M,\left(Q\right)\right)=\frac{\left|-2.(-9)-6\right|}{\sqrt{4^2+{(-2)}^2+{(-4)}^2}}=2$.

2) Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):3x-y+2z-5=0$ và $\left(Q\right):6x-2y+4z-3=0$. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải:

Vì $\frac{3}{6}=\frac{-1}{-2}=\frac{2}{4}\ne \frac{-5}{-3}$ nên (P) // (Q).

Xét phương trình của $\left(P\right):3x-y+2z-5=0$, cho $y=0,z=0$, ta có $3x-5=0\Rightarrow x=\frac{5}{3}$.

Vậy $M\left(\frac{5}{3};0;0\right)$ là một điểm thuộc (P).

Ta có: $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(M,\left(Q\right)\right)=\frac{|6\cdot \frac{5}{3}-3|}{\sqrt{6^2+(-2{)}^2+4^2}}=\frac{7}{2\sqrt{14}}$.

3) Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-2z+7=0$ và $\left(Q\right):2x+4y-4z+9=0$. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải:

Vì $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{-2}{-4}\ne \frac{7}{9}$ nên (P) /// (Q).

Xét phương trình của $\left(P\right):x+2y-2z+7=0$, cho $y=0,z=0$, ta có $x+7=0\Rightarrow x=-7$.

Vậy M(-7; 0; 0) là một điểm thuộc (P).

Ta có: $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(M,\left(Q\right)\right)=\frac{|2\cdot (-7)+9|}{\sqrt{2^2+4^2+(-4{)}^2}}=\frac{5}{6}$.