Cho \(\overrightarrow u (x;y)\) và \(\overrightarrow v  = (x';y')\).

\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\).

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; -1), C(8; 0). Tính \(\widehat {ABC}\).

Giải:

\(\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \), \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} \),

\(\cos \widehat {ABC} = \cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {50} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {63^o}\).

2) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 1), B(5; 2) và C(4; 4). Giải tam giác ABC.

Giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (4;1)\), \(\overrightarrow {BC}  = ( - 1;2)\), \(\overrightarrow {AC}  = (3;3)\).

Suy ra: \(AB = |\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{4^2} + {1^2}}  = \sqrt {17} \), \(BC = |\overrightarrow {BC} | = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \),

\(AC = |\overrightarrow {AC} | = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \).

\(\cos A = \cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{|\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |}} = \frac{{4.3 + 1.3}}{{\sqrt {17} .3\sqrt 2 }} \approx 0,857 \Rightarrow \widehat A \approx {30^o}57'\).

\(\cos B = \cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {BA} |.|\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{( - 4).( - 1) + ( - 1).2}}{{\sqrt {17} .\sqrt 5 }} \approx 0,217 \Rightarrow \widehat B \approx {77^o}28'\).

\(\widehat C = {180^o} - \widehat A - \widehat B \approx {180^o} - {30^o}57' - {77^o}28' = {71^o}35'\).