Cách tính thể tích khối chóp cụt đều - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Thể tích - Từ điển môn Toán 11

Cách tính thể tích khối chóp cụt đều - Toán 11

Cách tính thể tích khối chóp cụt đều, công thức tính thể tích khối chóp cụt đều

Nội dung chính

1. Hình chóp cụt đều

2. Cách tính thể tích khối chóp cụt đều

1. Hình chóp cụt đều

Cho hình chóp đều $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ . Mặt phẳng (P) song song với đáy của hình chóp và cắt các cạnh $S A_{1}$ , $S A_{2}$ , …, $S A_{n}$ lần lượt tại $B_{1}$ , $B_{2}$ , …, $B_{n}$ .

Phần của hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và $(A_{1} A_{2} . . . A_{n})$ được gọi là hình chóp cụt đều $A_{1} A_{2} . . . A_{n} . B_{1} B_{2} . . . B_{n}$ .

Trong hình chóp đều $A_{1} A_{2} . . . A_{n} . B_{1} B_{2} . . . B_{n}$ , ta gọi:

- Các đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ , $B_{1} B_{2} . . . B_{n}$ lần lượt là đáy lớn, đáy nhỏ;

- Các tứ giác $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ , $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ , …, $A_{n} A_{1} B_{1} B_{n}$ là các mặt bên;

- Các đoạn thẳng $A_{1} B_{1}$ , $A_{2} B_{2}$ , …, $A_{n} B_{n}$ là các cạnh bên;

- Các cạnh của hai đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ , $B_{1} B_{2} . . . B_{n}$ là các cạnh đáy;

- Đoạn thẳng nối tâm của hai đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ , $B_{1} B_{2} . . . B_{n}$ là đường cao; độ dài đường cao là chiều cao.

Tuỳ theo đáy là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,… , ta có hình chóp cụt tam giác đều, hình chóp cụt tứ giác đều, hình chóp cụt ngũ giác đều,…

Nhận xét:

- Hai đáy của hình chóp cụt đều nằm trên hai mặt phẳng song song và có các cạnh tương ứng song song; đồng thời hai đáy đó là các đa giác đều có cùng số cạnh;

- Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân;

- Các đường thẳng chứa cạnh bên của hình chóp cụt đều cùng đi qua một điểm;

- Đường cao của hình chóp cụt đều thì vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều đó.

2. Cách tính thể tích khối chóp cụt đều

Sử dụng công thức: $V = \frac{1}{3} h (S_{1} + \sqrt{S_{1} S_{2}} + S_{2})$ .

Trong đó:

- V: thể tích khối chóp cụt đều.

- $S_{1}$ , $S_{2}$ : diện tích hai đáy khối chóp cụt đều.

- h: chiều cao khối chóp cụt đều.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho khối chóp cụt tam giác đều ABCA'B'C' có chiều cao bằng 3a, AB = 4a, A'B' = a. Tính thể tích của khối chóp cụt đều ABCA'B'C'.

Giải:

Diện tích tam giác đều ABC là:

$S_{1} = \frac{1}{2} A B . A C . sin ˆ B A C = \frac{1}{2} .4 a .4 a . sin 60^{o} = 4 \sqrt{3} a^{2}$ .

Diện tích tam giác đều A'B'C' là:

$S_{2} = \frac{1}{2} A^{'} B^{'} . A^{'} C^{'} . sin ˆ B^{'} A^{'} C^{'} = \frac{1}{2} . a . a . sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}$ .

Thể tích khối chóp cụt đều ABC.A'B'C' là:

$V = \frac{1}{3} .3 a . (4 \sqrt{3} a^{2} + \sqrt{4 \sqrt{3} a^{2} . \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}} + \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}) = \frac{21 \sqrt{3} a^{3}}{4}$ .

2) Cắt khối chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a bởi một mặt phẳng song song với đáy và đi qua trung điểm các cạnh bên. Tính thể tích khối chóp cụt đều được tạo thành.

Giải:

Gọi ABC.A'B'C' là khối chóp cụt đều được tạo thành, O và O' lần lượt là tâm của hai đáy ABC và A'B'C'. Ta có:

Chiều cao của khối chóp cụt đều là $h = O O^{'} = \frac{S O}{2} = \frac{2 a}{2} = a$ .

Tam giác đều ABC có diện tích: $S = \frac{A B^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Tam giác đều A'B'C' có cạnh $A^{'} B^{'} = \frac{A B}{2}$ nên có diện tích: $S^{'} = \frac{A B^{2} \sqrt{3}}{16} = \frac{S}{4}$ .

Do đó, thể tích khối chóp cựt đều được tạo thành là:

$V = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S S^{'}} + S^{'}) = \frac{1}{3} a (S + \frac{S}{2} + \frac{S}{4}) = \frac{7 a S}{12} = \frac{7 a}{12} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{48}$ .