Cách tính thể tích khối chóp - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Thể tích - Từ điển môn Toán 11

Cách tính thể tích khối chóp - Toán 11

Cách tính thể tích khối chóp, công thức tính thể tích khối chóp

Nội dung chính

1. Hình chóp

2. Cách tính thể tích khối chóp

3. Bài tập vận dụng

1. Hình chóp

Trong mặt phẳng (P), cho đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ $(n \geq 3)$ . Lấy điểm S nằm ngoài (P). Nối S với các đỉnh $A_{1}$ , $A_{2}$ , …, $A_{n}$ , ta được n tam giác: $S A_{1} A_{2}$ , $S A_{2} A_{3}$ , …, $S A_{n} A_{1}$ . Hình gồm đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ và n tam giác $S A_{1} A_{2}$ , $S A_{2} A_{3}$ , …, $S A_{n} A_{1}$ gọi là hình chóp, kí hiệu $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ .

Trong hình chóp $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ , ta có:

- Điểm S gọi là đỉnh;

- Đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ gọi là mặt đáy;

- Các cạnh của mặt đáy gọi là cạnh đáy;

- Các đoạn thẳng $S A_{1}$ , $S A_{2}$ , …, $S A_{n}$ gọi là các cạnh bên;

- Các tam giác $S A_{1} A_{2}$ , $S A_{2} A_{3}$ , …, $S A_{n} A_{1}$ gọi là các mặt bên.

Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

2. Cách tính thể tích khối chóp

Sử dụng công thức: $V = \frac{1}{3} S . h$ .

Trong đó:

- V: thể tích khối chóp.

- S: diện tích đáy khối chóp.

- h: chiều cao khối chóp.

Ví dụ minh hoạ:

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Biết đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng $60^{o}$ .

Giải:

Do $S A ⊥ (A B C D)$ và $B A \subset (A B C D)$ nên $S A ⊥ A B$ , suy ra $S A = A B . tan ˆ S B A$ .

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $ˆ S B A$ .

Suy ra $ˆ S B A = 60^{o}$ .

Từ đó, ta có $S A = a . tan 60^{o} = a \sqrt{3}$ . Mặt khác, do diện tích hình vuông ABCD là $S_{A B C D} = a^{2}$ nên thể tích của khối chóp S.ABCD là:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} a^{2} . a \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

2) Tính thể tích khối từ diện đều SABC cạnh a.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC). Ta có ba tam giác vuông SHA, SHB, SHC bằng nhau, suy ra HA = HB = HC. Vậy H là tâm của tam giác đều ABC. Ta có:

$A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , $A H = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ , $S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{9}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Khối từ diện đều SABC có thể tích là:

$V = \frac{1}{3} S_{A B C} . S H = \frac{1}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

3. Bài tập vận dụng

00:00 Đã làm 0/5 câu

Luyện tập

Câu 1 Nhận biết

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh 3a và chiều cao bằng 5a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

$25 a^{3}$

$45 a^{3}$

$5 a^{3}$

$15 a^{3}$

Gợi ý Câu hỏi tiếp theo

Báo lỗi