Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).

Lưu ý:

+) \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \).

+) \(\overrightarrow u .\overrightarrow u = {\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.\cos {0^ o } = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\).

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} \).

Giải:

Vì \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ) = {90^o}\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\).

Hình vuông có cạnh bằng \(a\) nên có đường chéo bằng \(a\sqrt 2 \).

Mặt khác,\((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ) = {45^o}\), \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} ) = {135^o}\), do đó:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos {45^o} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\);

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD}  = AB.BD.\cos {135^o} = a.a\sqrt 2 .( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}) =  - {a^2}\).