Cho \(\overrightarrow u (x;y)\) và \(\overrightarrow v  = (x';y')\).

Khi đó \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = xx' + yy'\).

Hệ quả:

+) \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow xx' + yy' = 0\)

+) \({\overrightarrow u ^2} = \overrightarrow u .\overrightarrow u  = x.x + y.y = {x^2} + {y^2}\).

+) Tìm góc giữa hai vecto: \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{xx' + yy'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\).

Cho 3 vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) bất kì và mọi số thực k, ta có:

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \overrightarrow v .\overrightarrow u \);

\(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v  + \overrightarrow u .\overrightarrow w \);

\(\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v  = k.\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u .\left( {k\overrightarrow v } \right)\).

Hệ quả:

\(\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}\);

\((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2 + 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2\);

\((\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})^2 = \overrightarrow{u}^2 - 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2\);

\((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}^2 - \overrightarrow{v}^2\).

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính tích vô hướng của các cặp vecto sau:

a) \(\vec u = (2; - 3)\) và \(\vec v = (5;3)\);

b) Hai vecto đơn vị \(\vec i\) và \(\vec j\) tương ứng của các trục Ox, Oy.

Giải:

a) Ta có: \(\vec u.\vec v = 2.5 + ( - 3).3 = 10 - 9 = 1\).

b) Vì \(\vec i = (1;0)\) và \(\vec j = (0;1)\) nên \(\vec i.\vec j = 1.0 + 0.1 = 0\).

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 2), B(1; -1), C(8; 0).

a) Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).

b) Chứng minh \(AB \bot AC\).

Giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = (1;3)\), \(\overrightarrow {BC}  = (7;1)\). Do đó \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 1.7 + 3.1 = 10\).

b) Do \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 3)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (6; - 2)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = ( - 1).6 + ( - 3).( - 2) = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \).