Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai d.

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khi đó

\({S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\)

hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\).

a) Tính tổng 100 số nguyên dương đầu tiên.

b) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} + {u_6} = 20\). Tính tổng 9 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

c) Cho cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({S_3} =  - 3\) và \({S_5} =  - 15\). Tính \({S_{50}}\).

Giải:

a) Ta có thể sắp xếp 100 số nguyên dương đầu tiên thành cấp số cộng có \({u_1} = 1\), \({u_{100}} = 100\).

Suy ra \({S_{100}} = \frac{{100(1 + 100)}}{2} = 50.101 = 5050\).

b) Ta có \({u_4} + {u_6} = ({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 2{u_1} + 8d = 20\).

Suy ra \({S_9} = \frac{{9.(2{u_1} + 8d)}}{2} = \frac{{9.20}}{2} = 90\).

c) Ta có:

\({S_3} = \frac{{3(2{v_1} + 2d)}}{2} =  - 3\), suy ra \({v_1} + d =  - 1\) (1)

\({S_5} = \frac{{5(2{v_1} + 4d)}}{2} =  - 15\), suy ra \({v_1} + 2d =  - 3\) (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{v_1} + d =  - 1\\{v_2} + 2d =  - 3\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được \({v_1} = 1\) và d = -2.

Do đó \({S_{50}} = \frac{{50(2{v_1} + 49d)}}{2} = \frac{{50.[2.1 + 49( - 2)]}}{2} =  - 2400\).