Giả sử $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân với công bội $q\ne 1$.

Đặt $S_n=u_1+u_2+...+u_n$. Khi đó

$S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}$.

1) Tính tổng $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^9}$.

Giải:

S là tổng mười số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Vậy $S=\frac{1.\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1023}{512}$.

2) Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân 2, 6, 18,… để được kết quả bằng 728?

Giải:

Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1=2$ và công bội q = 3. Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy.

Ta có: $728=S_n+u_1+u_2+...+u_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-3^n)}{1-3}=3^n-1$.

Từ đây ta được $3^n=729=3^6$. Suy ra n = 6.