Người ta thấy rằng nhiều hiện tượng tự nhiên tuân theo quy luật một đại lượng A biến thiên theo quy luật một đại lượng A biến thiên theo thời gian t theo hàm số mũ sau:

\(A(t) = {A_0}{e^{kt}}\).

Ở đây \({A_0}\) là lượng ban đầu (ứng với t = 0) và \(k \ne 0\) là một hằng số. Khi đó, đại lượng A được gọi là tuân theo luật hàm số mũ (tăng trưởng nếu k > 0, suy thoái nếu k < 0).

Áp dụng công thức \(A(t) = {A_0}{e^{kt}}\).

Ví dụ minh hoạ:

Dấu vết của gỗ bị đốt cháy cùng với các công cụ đá cổ đại trong một cuộc khai quật khảo cổ học được phát hiện có chứa khoảng 1,67% lượng carbon-14 ban đầu. Biết chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm (theo britannica.com), hãy ước tính khoảng thời gian cây bị chặt và đốt.

Giải:

Chu kì bán ra là thời gian cần thiết để một nửa số chất phóng xạ bị phân rã và chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm nên ta có:

\(50\% {\rm{\;}} = {e^{k.5730}} \Leftrightarrow k = {\rm{\;}} - \frac{1}{{5730}}.\ln 2\).

Do dấu vết của gỗ bị đốt cháy cùng với các công cụ đá cổ đại trong một cuộc khai quật khảo cổ học được phát hiện có chứa khoảng 1,67% lượng carbon-14 ban đầu do đó khoảng thời gian cây bị chặt và đốt là:

\(1,67\%  = {e^{k.t}} \Leftrightarrow t \approx 33829,97\).

Vậy khoảng thời gian cây bị chặt và đốt là khoảng 33830 năm.