Người ta thấy rằng nhiều hiện tượng tự nhiên tuân theo quy luật một đại lượng A biến thiên theo quy luật một đại lượng A biến thiên theo thời gian t theo hàm số mũ sau:

$A\left(t\right)=A_0{e}^{kt}$.

Ở đây $A_0$ là lượng ban đầu (ứng với t = 0) và $k\ne 0$ là một hằng số. Khi đó, đại lượng A được gọi là tuân theo luật hàm số mũ (tăng trưởng nếu k > 0, suy thoái nếu k < 0).

Áp dụng công thức $A\left(t\right)=A_0{e}^{kt}$.

Ví dụ minh hoạ:

Dấu vết của gỗ bị đốt cháy cùng với các công cụ đá cổ đại trong một cuộc khai quật khảo cổ học được phát hiện có chứa khoảng 1,67% lượng carbon-14 ban đầu. Biết chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm (theo britannica.com), hãy ước tính khoảng thời gian cây bị chặt và đốt.

Giải:

Chu kì bán ra là thời gian cần thiết để một nửa số chất phóng xạ bị phân rã và chu kì bán rã của carbon-14 là 5 730 năm nên ta có:

$50\%=e^{k.5730}\iff k=-\frac{1}{5730}.\ln 2$.

Do dấu vết của gỗ bị đốt cháy cùng với các công cụ đá cổ đại trong một cuộc khai quật khảo cổ học được phát hiện có chứa khoảng 1,67% lượng carbon-14 ban đầu do đó khoảng thời gian cây bị chặt và đốt là:

$1,67\%=e^{k.t}\iff t\approx 33829,97$.

Vậy khoảng thời gian cây bị chặt và đốt là khoảng 33830 năm.