Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_0(x_0;f(x_0\left)\right)$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $M_0(x_0;f(x_0\left)\right)$ là $y=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+f\left(x_0\right)$.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^2$ có đồ thị (C) và điểm $M(2;4)\in \left(C\right)$. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm $M$ và viết phương trình của tiếp tuyến đó.

Giải:

Ta có $(x^2{)}^{\prime }=2x$ nên tiếp tuyến của (C) tại $M$ có hệ số góc là $f^{\prime }\left(2\right)=2.2=4$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M$ là $y-4=4(x-2)\iff y=4x-4$.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): $y=3x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$.

Ta có $y^{\prime }=6x$. Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là $k=f^{\prime }\left(1\right)=6$. Ngoài ra, ta có $f\left(1\right)=3$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y-3=6(x-1)$ hay $y=6x-3$.

3) Cho hàm số $y=-x^2$ có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $M(3;-9)$.

Giải:

a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 có hệ số góc là:

$f^{\prime }\left(3\right)=\underset{x\to 3}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{-x^2-(-3^2)}{x-3}=\underset{x\to 3}{lim}(-x-3)=-6$.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $M(3;-9)$ là: $y=-6(x-3)+(-9)$ hay $y=-6x+9$.

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) với hệ số góc k, ta thực hiện:

B1: Tính đạo hàm f’(x).

B2: Giải phương trình f’(x) = 0, được các nghiệm x = a, x = b,...

B3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ là các nghiệm vừa tìm được:

$y=k(x-a)+f\left(a\right)$; $y=k(x-b)+f\left(b\right)$;...

Ví dụ minh hoạ:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}$ biết tiếp tuyến có hệ số góc là $k=-1$.

Giải:

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-1}{{(x-2)}^2}$.

Do tiếp tuyến có hệ số góc $k=-1$ nên ta có: $\frac{-1}{{(x-2)}^2}=-1\iff [\begin{array}{c}x=3\\ x=1\end{array}$

Với $x_0=3\Rightarrow y_0=2\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến là: $y=-1(x-3)+2=-x+5$.

Với $x_0=1\Rightarrow y_0=0\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến là: $y=-(x-1)=-x+1$.

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng $d:y=kx+g$, ta thực hiện:

B1: Tính đạo hàm f’(x).

B2: Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=k$, được các nghiệm x = a, x = b,...

B3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ là các nghiệm vừa tìm được:

$y=k(x-a)+f\left(a\right)$; $y=k(x-b)+f\left(b\right)$;...

Ví dụ minh hoạ:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -4x + 5.

Giải:

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-1}{{(x-2)}^2}$.

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-4x+2\Rightarrow k=-4\iff \frac{-1}{{(x-2)}^2}=-4$

$\iff (x-2{)}^2=\frac{1}{4}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{5}{2}\\ x=\frac{3}{2}\end{array}$

Với $x_0=\frac{5}{2}\Rightarrow y_0=3\Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left(x-\frac{5}{2}\right)+3=-4x+13$.

Với $x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow y_0=-1\Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left(x-\frac{3}{2}\right)-1=-4x+5$ (loại vì trùng với đường thẳng đã cho).

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=-4x+13$.

2) Cho hàm số: $y=\frac{x-1}{x+1}$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d_1:x-2y-1=0$.

Giải:

Ta có: $d_1:y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$.

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\Rightarrow k=y^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{2}{{(x_0+1)}^2}=\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{c}{x}_0=1\\ x_0=-3\end{array}$

Với $x_0=1\Rightarrow y_0=0\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{1}{2}(x-1)\equiv d_1$ (loại).

Với $x_0=-3\Rightarrow y_0=2\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{1}{2}(x+3)+2=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$.

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với đường thẳng $d:y=kx+g$, ta thực hiện:

B1: Tính đạo hàm f’(x).

B2: Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right).k=-1$, được các nghiệm x = a, x = b,...

B3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ là các nghiệm vừa tìm được:

$y=k(x-a)+f\left(a\right)$; $y=k(x-b)+f\left(b\right)$;...

Ví dụ minh hoạ:

1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 9x + 2.

Giải:

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-1}{{(x-2)}^2}$.

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=9x+2$ suy ra:

$y^{\prime }.k=-1\iff \frac{-1}{{(x-2)}^2}\cdot 9=-1\iff \frac{-1}{{(x-2)}^2}=\frac{-1}{9}$

$\iff (x-2{)}^2=9\iff \{\begin{array}{c}x=5\\ x=-1\end{array}$

Với $x_0=5\Rightarrow y_0=\frac{4}{3}\Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{1}{9}(x-5)+\frac{4}{3}=-\frac{1}{9}x+\frac{17}{9}$.

Với $x_0=-1\Rightarrow y_0=\frac{2}{3}\Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{1}{9}(x+1)+\frac{2}{3}=-\frac{1}{9}x+\frac{5}{9}$.

2) Cho hàm số: $y=\frac{x-1}{x+1}$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d:x+2y+1=0$.

Gọi $M(x_0;y_0)\in \left(C\right)$ là tiếp điểm.

Ta có: $d:y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\Rightarrow k_d=-\frac{1}{2}\Rightarrow k_{tt}=2$.

Khi đó $y^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{2}{{(x_0+1)}^2}=2\iff \{\begin{array}{c}{x}_0=0\\ x_0=-2\end{array}$

Với $x_0=0\Rightarrow y_0=-1\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến là: $y=2x-1$.

Với $x_0=-2\Rightarrow y_0=3\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến là: $y=2(x+2)+3=2x+7$.

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua $B(\alpha ;\beta )$

Gọi $A(x_0;f(x_0\left)\right)\in \left(C\right)$.

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ của $\left(C\right)$ là $y=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+f\left(x_0\right)\left(d\right)$.

Mặt khác $d$ đi qua $B(\alpha ;\beta )$ nên $\beta =f^{\prime }\left(x_0\right)(\alpha -x_0)+f\left(x_0\right)$ từ đó giải phương trình tìm $x_0$.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho hàm số: $y=\frac{x+2}{x-1}$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua $A(1;7)$.

Giải:

Ta có: $y=\frac{-3}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0+2}{x_0-1}$. Tiếp tuyến qua $A(1;7)$ nên:

$7=\frac{-3}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(1-x_0\right)+\frac{x_0+2}{x_0-1}=\frac{x_0+5}{x_0-1}\iff 7(x_0-1)=x_0+5\iff x_0=2$.

Phương trình tiếp tuyến là: $y=-3(x-2)+4$ hay $y=-3x+10$.

2) Cho hàm số $y=x^4+2x^2+5\left(C\right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ.

Giải:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_0;x_0^4+2x_0^2)$ là $y=(4x_0^3+4x_0)(x-x_0)+x_0^4+2x_0^2+5$ (d).

Do $O(0;0)\in d$ nên $0=-3x_0^4-2x_0^2+5\iff [\begin{array}{c}{x}_0=1\\ x_0=-1\end{array}$ .

Do đó phương trình tiếp tuyến là $[\begin{array}{c}y=8x\\ y=-8x\end{array}$.

3) Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-2}$ (C). Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm $A(2;-8)$ đến đồ thị (C).

Giải:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_0;\frac{2x_0+1}{x_0-2})$ là $y=\frac{-5}{(x_0-2)}(x-x_0)+\frac{2x_0+1}{x_0-2}$ (d).

Do $A(2;-8)\in d$ nên ta có: $-8=\frac{-5(2-x_0)}{{(x_0-2)}^2}+\frac{2x_0+1}{x_0-2}=\frac{2x_0+6}{x_0-2}\iff x_0=1$.

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-5(x-1)-3=-5x+2$.