Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(a;b;c).

+ M thuộc (P) nếu Aa + Bb + Cc + D = 0 .

+ M không thuộc (P) nếu Aa + Bb + Cc + D \( \ne \) 0 .

Vậy, để kiểm tra một điểm có thuộc mặt phẳng hay không, ta thực hiện:

B1: Thay toạ độ điểm vào phương trình mặt phẳng.

B2: Nếu thoả mãn phương trình (hai vế bằng nhau) thì kết luận điểm thuộc mặt phẳng và ngược lại.

Ví dụ minh hoạ:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – 3z – 4 = 0. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P)?

A. A(0;4;0)

B. B(1;-6;-3)

C. C(2;2;0)

D. D(2;2;1)

Giải:

Thay toạ độ các điểm vào phương trình mặt phẳng:

Xét đáp án A: 1.0 + 1.4 – 3.0 – 4 = 0. Vậy A(0;4;0) thuộc (P).

Xét đáp án B: 1.1 + 1.(-6) – 3.(-3) – 4 = 0. Vậy B(1;-6;-3) thuộc (P).

Xét đáp án C: 1.2 + 1.2 – 3.0 – 4 = 0. Vậy C(2;2;0) thuộc (P).

Xét đáp án D: 1.2 + 1.2 – 3.1 – 4 = -3. Vậy D(2;2;0) không thuộc (P).