Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

\(a{x^2} + bx + c = 0\),

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\).

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)

Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta  = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).

Ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left( {\Delta  \ge 0} \right)\)

Bước 2: Từ hệ thức đã cho và hệ thức Viète, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện của tham số có thoả mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\)

Dạng 1: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho \({x_1} = p{x_2}\) (với p là một số thực)

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Áp dụng định lí Viète: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\,\left( 1 \right);{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\,\left( 2 \right)\)

Bước 3: Kết hợp (1) và \({x_1} = p{x_2}\) để giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\,\\{x_1} = p{x_2}\end{array} \right.\) để tính \({x_1};{x_2}\).

Bước 4: Thay giá trị \({x_1};{x_2}\) vào (2) để tìm tham số.

Dạng 2: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = k\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)

Bước 1: Bình phương hai vế: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {k^2}\), biến đổi thành \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {k^2}\).

Bước 2: Áp dụng định lí Viète tính \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) thay vào biểu thức sau đó kết luận.

Dạng 3: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kì:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left( {\Delta  \ge 0} \right)\)

Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) (*)

* Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn \(\alpha \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - \alpha } \right) + \left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0\\\left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0\end{array} \right.\). Thay định lí Viète vào hệ để tìm m.

* Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn \(\alpha \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - \alpha } \right) + \left( {{x_2} - \alpha } \right) < 0\\\left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0\end{array} \right.\). Thay định lí Viète vào hệ để tìm m.

* Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1} < \alpha  < {x_2}\).

Ta có: \(\left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) < 0\). Thay định lí Viète vào hệ để tìm m.