Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ có biệt thức $\Delta =b^2–4ac$.

- Nếu $\Delta <0$ thì $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in R$.

- Nếu $\Delta =0$ thì $f\left(x\right)$ có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}$. Khi đó $f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$.

- Nếu $\Delta >0$, $f\left(x\right)$ có $2$ nghiệm $x_1,x_2(x_1<x_2)$ và luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)$ và luôn trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in (x_1;x_2)$.

1) Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $3x^2-2x+1$;

b) $-x^2+4x+5$;

c) $-4x^2+12x-9$.

Giải:

a) Ta có $\{\begin{array}{c}\Delta <0\\ a=3>0\end{array}$ suy ra $3x^2-2x+1>0$, $\forall x\in R$.

b) Phương trình $-x^2+4x+5=0$ có $\Delta >0$, a = -1 < 0, hai nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 5.

Bảng xét dấu:

Suy ra $-x^2+4x+5>0$ khi $x\in (-1;5)$ và $-x^2+4x+5<0$ khi $x\in (-\infty ;-1)\cup (5;+\infty )$.

c) Ta có $\{\begin{array}{c}\Delta =0\\ a=-4<0\end{array}$, phương trình $-4x^2+12x-9=0$ có nghiệm kép $x=\frac{3}{2}$.

Suy ra $-4x^2+12x-9<0$ $\forall x\ne \frac{3}{2}$.

2) Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) $f\left(x\right)=3x^2-x+1$;

b) $f\left(x\right)=4x^2+4x+1$.

Giải:

a) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=3x^2-x+1$ có $\Delta =-11<0$, hệ số $a=3>0$ nên $f\left(x\right)>0$ với mọi $x\in R$.

b) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=4x^2+4x+1$ có $\Delta =0$, nghiệm kép $x_0=-\frac{1}{2}$ và hệ số $a=4>0$ nên $f\left(x\right)>0$ với mọi $x\in R\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.