Hàm số mũ $y=a^x$ $\left(1\ne a>0\right)$:

+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên $R$.

+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên $R$.

Hàm số logarit $y={\log }_{a}x$ $\left(1\ne a>0\right)$:

+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

1) Xét sự biến thiên của các hàm số:

a) $y=5^x$;

b) $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$;

c) $y={\left(\pi -\sqrt{2}\right)}^x$;

d) $y={\left(6-\sqrt{5}\right)}^x$.

Giải:

a) Vì 5 > 1 nên hàm số $y=5^x$ đồng biến trên $R$.

b) Vì $0<\frac{1}{2}<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nghịch biến trên $R$.

c) Vì $\pi -\sqrt{2}>1$ nên hàm số $y={\left(\pi -\sqrt{2}\right)}^x$ đồng biến trên $R$.

d) Vì $6-\sqrt{5}>1$ nên hàm số $y={\left(6-\sqrt{5}\right)}^x$ đồng biến trên $R$.

2) Xét sự biến thiên của các hàm số:

a) $y=\ln x$;

b) $y={\log }_{1-\sqrt{\frac{2018}{2019}}}x$;

c) $y={\log }_{\pi }x$;

d) $y={\log }_{4-\sqrt{3}}x$.

Giải:

a) Vì e > 1 nên hàm số $y=\ln x$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

b) Vì $0<\frac{1}{2}<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

c) Vì $\pi -\sqrt{2}>1$ nên hàm số $y={\left(\pi -\sqrt{2}\right)}^x$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

d) Vì $6-\sqrt{5}>1$ nên hàm số $y={\left(6-\sqrt{5}\right)}^x$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$.

3) Cho số thực $a\in (0;1)$. Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ là đường cong nào dưới đây?

Giải:

Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ là đường cong nằm bên phải trục tung và đi qua điểm (1;0).

Vì $a\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến, suy ra đồ thị hàm số là Hình 4.