a) Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại điểm $x=x_0$ khi $f\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ hoặc $f\left(x_0\right)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)$.

b) Ví dụ minh hoạ:

1) Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}\frac{x^2-3x+2}{x-2}& khi& x\ne 2\\ 4x-7& khi& x=2\end{array}$ tại điểm $x_0=2$.

Giải:

Ta có $f\left(x_0\right)=f\left(2\right)=4\cdot 2-7=1$.

$\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=1$.

Suy ra $f\left(2\right)=\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)$ nên hàm số $f\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0=2$.

2) Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}{x}^2-3x+3& khi& x\le 2\\ \frac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}& khi& x>2\end{array}$ tại điểm $x_0=2$.

Giải:

Ta có $f\left(x_0\right)=f\left(2\right)=2^2-3.2+3=1$.

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}(x^2-3x+3)=1$.

$\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{1-2x+3}{(2-x)(1+\sqrt{2x-3})}=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2}{1+\sqrt{2x-3}}=1$.

Suy ra $f\left(2\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)$ nên hàm số $f\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0=2$.

3) Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}\frac{x^2-9}{\sqrt{x+1}-2}& khi& x>3\\ 2x+12& khi& x\le 3\end{array}$ tại điểm $x_0=3$.

Giải:

Ta có $f\left(x_0\right)=f\left(3\right)=18$.

$\underset{x\to 3^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{lim}(2x+12)=18$.

$\underset{x\to 3^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{x^2-9}{\sqrt{x+1}-2}=\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}{x-3}$

$=\underset{x\to 3^{+}}{lim}(x+3)(\sqrt{x+1}+2)=24$.

Suy ra $f\left(3\right)=\underset{x\to 3^{-}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 3^{+}}{lim}f\left(x\right)$ nên hàm số $f\left(x\right)$ không liên tục tại điểm $x_0=3$.

4) Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}\frac{x+1-\sqrt{x+3}}{x-1}& khi& x>1\\ \frac{3}{4}& khi& x=1\\ \frac{3x^3-6x^2-3x+6}{3x^2-14x+11}& khi& x<1\end{array}$ tại điểm $x_0=1$.

Giải:

Ta có $f\left(x_0\right)=f\left(1\right)=\frac{3}{4}$.

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{3x^3-6x^2-3x+6}{3x^2-14x+11}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{(x-1)(3x^2-3x-6)}{(x-1)(3x-11)}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{3x^2-3x-6}{3x-11}=\frac{3}{4}$

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x+1-\sqrt{x+3}}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{{(x-1)}^2-(x+3)}{(x-1)(x+1+\sqrt{x+3})}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x+2}{x+1+\sqrt{x+3}}=\frac{3}{4}$.

Suy ra $f\left(1\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)$ nên hàm số $f\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0=1$.

5) Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x^3-4x}& khi& x\ne 2\\ \frac{1}{8}(a+x)& khi& x=2\end{array}$ liên tục tại điểm $x_0=2$.

Giải:

Ta có $f\left(2\right)=\frac{1}{8}(a+2)$.

$\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3+2x^2-5x-6}{x^3-4x}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{(x-2)(x^2+4x+3)}{x(x-2)(x+2)}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+4x+3}{x(x+2)}=\frac{15}{8}$.

Hàm số liên tục tại điểm $x_0=2\iff f\left(2\right)=\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)\iff \frac{1}{8}(a+2)=\frac{15}{8}\iff a=13$.

a) Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại điểm $x=x_0$ khi $f\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ hoặc $f\left(x_0\right)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)$.

b) Ví dụ minh hoạ:

1) Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}\frac{2x^3+x+3}{x^3+1}& khi& x\ne -1\\ \frac{7}{3}& khi& x=-1\end{array}$ trên $R$.

Giải:

Xét $x\ne -1$ thì $f\left(x\right)=\frac{2x^3+x+3}{x^3+1}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ mà nó xác định.

Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)$ tại $x=-1$:

$\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{lim}\frac{2x^3+x+3}{x^3+1}=\underset{x\to -1}{lim}\frac{(x+1)(2x^2-2x+3)}{(x+1)(x^2-x+1)}=\underset{x\to -1}{lim}\frac{2x^2-2x+3}{x^2-x+1}=\frac{7}{3}$.

$f(-1)=\frac{7}{3}$.

Suy ra $\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)=f(-1)$ nên hàm số đã cho liên tục tại $x_0=-1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên $R$.

2) Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}\frac{x^2-4x+3}{x-1}& khi& x>1\\ \sqrt{5-x}& khi& x\le 1\end{array}$ trên $R$.

Giải:

Tập xác định của hàm số là $D=R$.

Với mọi $x_0\in (1;+\infty )$, $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^2-4x+3}{x-1}=f\left(x_0\right)$. Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng $(1;+\infty )$.

Với mọi $x_0\in (-\infty ;1)$, ta có $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\left(-\sqrt{5-x}\right)=-\sqrt{5-x_0}=f\left(x_0\right)$. Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$.

Xét tính liên tục của hàm số tại $x=1$:

$f\left(1\right)=-\sqrt{5-1}=2$.

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(-\sqrt{5-x}\right)=-2$.

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}(x-3)=-2$.

Suy ra $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(1\right)$ nên hàm số đã cho liên tục tại $x=1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên $R$.