Cách xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cá..

Cách xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng - Toán 10

Cách xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Nội dung chính

1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

2. Ví dụ minh hoạ xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cách 1:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ . Khi đó:

a) $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương.

b) $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

c) $Δ_{1}$ trùng với $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Cách 2:

Cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có phương trình lần lượt là:

$a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ và $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ .

Xét hệ phương trình ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \end{cases}$ (I).

Khi đó:

a) $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất.

b) $Δ_{1}$ // $Δ_{2}$ khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm.

c) $Δ_{1}$ trùng $Δ_{2}$ khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm.

2. Ví dụ minh hoạ xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

1) Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) $Δ_{1} : 2 x - y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : - x + 2 y + 2 = 0$ .

b) $Δ_{3} : x - y - 1 = 0$ và $Δ_{4} : {\begin{array}{l} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 2 t \end{array}$ .

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{1} = (1; 2)$ , đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{2} = (- 2; - 1)$ .

Do $\frac{1}{- 2} \neq \frac{2}{- 1}$ nên ${\vec{u}}_{1}$ , ${\vec{u}}_{2}$ không cùng phương, suy ra $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{3}$ , $Δ_{4}$ lần lượt có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{3} = (1; 1)$ , ${\vec{u}}_{4} = (2; 2)$ . Suy ra ${\vec{u}}_{4} = 2 {\vec{u}}_{3}$ . Chọn $t = 0$ , ta có điểm $M (1; 3) \in Δ_{4}$ . Do $1 - 3 - 1 \neq 0$ nên $M (1; 3) \notin Δ_{3}$ .

Vậy $Δ_{3}$ song song với $Δ_{4}$ .

2) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ và $Δ_{2} : 2 x - 4 y + 2 = 0$ .

Toạ độ giao điểm của đường thẳng $Δ_{1}$ và đường thẳng $Δ_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{array}{l} x - 2 y + 1 = 0 \\ 2 x - 4 y + 2 = 0. \end{array}$

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vô số điểm chung, tức là $Δ_{1}$ trùng với $Δ_{2}$ .

3) Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : 2 x + y - 2 = 0$ và $Δ_{2} : x - 2 = 0$ ;

b) $Δ_{1} : 2 x + y - 2 = 0$ và $Δ_{2} : x - y - 1 = 0$ ;

c) $Δ_{1} : 2 x + y - 2 = 0$ và $Δ_{2} : 4 x + 2 y + 3 = 0$ ;

d) $Δ_{1} : 2 x + y - 2 = 0$ và $Δ_{2} : {\begin{array}{l} x = 3 t \\ y = 2 - 6 t \end{array}$ ;

e) $Δ_{1} : {\begin{array}{l} x = t \\ y = 2 - 2 t \end{array}$ và $Δ_{2} : {\begin{array}{l} x = 1 + 2 t^{'} \\ y = t^{'} \end{array}$

Giải:

a) $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec{n}}_{1} = (2; 1)$ và ${\vec{n}}_{2} = (1; 0)$ .

Ta có: $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 2.0 - 1.1 = - 1 \neq 0$ , suy ra ${\vec{n}}_{1}$ và ${\vec{n}}_{2}$ là hai vectơ không cùng phương.

Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tại một điểm $M$ . Giải hệ phương trình ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 = 0 \\ x - 2 = 0 \end{array}$ ta được $M (2; - 2)$ .

b) $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec{n}}_{1} = (2; 1)$ và ${\vec{n}}_{2} = (1; - 1)$ .

Ta có: $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{- 1}$ , suy ra ${\vec{n}}_{1}$ và ${\vec{n}}_{2}$ là hai vectơ không cùng phương.

Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tại một điểm $M$ . Giải hệ phương trình: ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 = 0 \\ x - y - 1 = 0 \end{array}$ ta được $M (1; 0)$ .

c) $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec{n}}_{1} = (2; 1)$ và ${\vec{n}}_{2} = (4; 2)$ .

Ta có $\frac{2}{1} = \frac{4}{2}$ , suy ra ${\vec{n}}_{1}$ và ${\vec{n}}_{2}$ là hai vectơ cùng phương. Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm $M (1; 0)$ thuộc $Δ_{1}$ , thay toạ độ của $M$ vào phương trình $Δ_{2}$ , ta được $4 + 0 + 3 = 7 \neq 0$ , suy ra $M$ không thuộc $Δ_{2}$ . Vậy $Δ_{1} / / Δ_{2}$ .

d) $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec{n}}_{1} = (2; 1)$ và ${\vec{n}}_{2} = (6; 3)$ .

Ta có $\frac{2}{1} = \frac{6}{3}$ , suy ra ${\vec{n}}_{1}$ và ${\vec{n}}_{2}$ là hai vectơ cùng phương. Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $P (0; 2)$ thuộc $Δ_{2}$ , thay toạ độ của $P$ vào phương trình $Δ_{1}$ , ta được $0 + 2 - 2 = 0$ , suy ra $P$ thuộc $Δ_{1}$ . Vậy $Δ_{1} \equiv Δ_{2}$ .

e) $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có phương trình tổng quát lần lượt là $2 x + y - 2 = 0$ và $x - 2 y - 1 = 0$ , có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec{n}}_{1} = (2; 1)$ và ${\vec{n}}_{2} = (1; - 2)$ .

Ta có ${\vec{n}}_{1} . {\vec{n}}_{2} = 2.1 + 1. (- 2) = 0$ nên ${\vec{n}}_{1}$ và ${\vec{n}}_{2}$ là hai vectơ vuông góc, suy ra $Δ_{1} ⊥ Δ_{2}$ .

Giải hệ phương trình ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 = 0 \\ x - 2 y - 1 = 0 \end{array}$ ta được nghiệm ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 0 \end{array}$ .

Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ vuông góc và cắt nhau tại $M (1; 0)$ .