Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu $b^n=a$.

Nhận xét:

- Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là $\sqrt[n]{na}$. Căn bậc 1 của số a chính là a.

- Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau, giá trị dương kí hiệu là $\sqrt[n]{na}$ (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là $-\sqrt[n]{na}$.

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

$\sqrt[n]{na}.\sqrt[n]{nb}=\sqrt[n]{nab}$;

$\frac{\sqrt[n]{na}}{\sqrt[n]{nb}}=\sqrt[n]{n\frac{a}{b}}$;

${\left(\sqrt[n]{na}\right)}^m=\sqrt[n]{n\frac{a}{b}}$;

$\sqrt[n]{n{a}^n}=a$ khi n lẻ; $\sqrt[n]{n{a}^n}=\left|a\right|$ khi n chẵn;

$\sqrt[n]{n\sqrt[k]{ka}}=\sqrt[nk]{nka}$.

Tính:

1) $\sqrt[5]{54}.\sqrt[5]{5-8}$;

2) $\sqrt[3]{3-3\sqrt{3}}$;

3) $\sqrt[4]{4{(3-\pi )}^4}$;

4) $\sqrt[4]{42\sqrt[3]{32}}$.

Giải:

1) $\sqrt[5]{54}.\sqrt[5]{5-8}=\sqrt[5]{54.(-8)}=\sqrt[5]{532}=\sqrt[5]{5{(-2)}^5}=-2$;

2) $\sqrt[3]{3-3\sqrt{3}}=\sqrt[3]{3-{\left(\sqrt{3}\right)}^3}=\sqrt[3]{3{\left(-\sqrt{3}\right)}^3}=-\sqrt{3}$;

3) $\sqrt[4]{4{(3-\pi )}^4}=\left|3-\pi \right|=\pi -3$ (vì $\pi >3$);

4) $\sqrt[4]{42\sqrt[3]{32}}=\sqrt[4]{4{\left(\sqrt[3]{32}\right)}^3.\sqrt[3]{32}}=\sqrt[4]{4{\left(\sqrt[3]{32}\right)}^4}=\sqrt[3]{32}$.