Cấp số nhân lùi vô hạn là một cấp số nhân mà có công bội q với |q| < 1.

Ví dụ minh hoạ:

a) \(1;\frac{1}{4};\frac{1}{{{4^2}}};...;\frac{1}{{{4^{n - 1}}}};...\)

b) \(2; - 1;\frac{1}{2}; - \frac{1}{{{2^3}}};...;{( - 1)^{n - 1}}\frac{1}{{{2^{n - 2}}}};...\)

c) \(\frac{1}{3};\frac{1}{9};\frac{1}{{27}};...\)

Giả sử có cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\).

Khi đó, tổng các số hạng của \(\left( {{u_n}} \right)\) là:

\({S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \(\frac{1}{2};\frac{1}{{{2^2}}};\frac{1}{{{2^2}}};...\)

Giải:

Cấp số nhân trên có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Tổng các số hạng của \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({S_n} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1\).

2) Tính tổng \(S = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + ...\)

Giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1\), \(q =  - \frac{1}{3}\) nên ta có:

\(S = \frac{1}{{1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right)}} = \frac{3}{4}\).

3) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,7777… dưới dạng phân số.

Giải:

Ta có \(0,777... = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... = \frac{7}{{10}} + \frac{7}{{{{10}^2}}} + \frac{7}{{{{10}^3}}} + ... = \frac{{\frac{7}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{7}{9}\).

Vậy \(0,777... = \frac{7}{9}\).