Cấp số nhân lùi vô hạn là một cấp số nhân mà có công bội q với |q| < 1.

Ví dụ minh hoạ:

a) $1;\frac{1}{4};\frac{1}{4^2};...;\frac{1}{4^{n-1}};...$

b) $2;-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{2^3};...;(-1{)}^{n-1}\frac{1}{2^{n-2}};...$

c) $\frac{1}{3};\frac{1}{9};\frac{1}{27};...$

Giả sử có cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$.

Khi đó, tổng các số hạng của $\left(u_n\right)$ là:

$S_n=\frac{u_1}{1-q}$.

Ví dụ minh hoạ:

1) Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $\frac{1}{2};\frac{1}{2^2};\frac{1}{2^2};...$

Giải:

Cấp số nhân trên có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Tổng các số hạng của $\left(u_n\right)$ là: $S_n=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$.

2) Tính tổng $S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=1$, $q=-\frac{1}{3}$ nên ta có:

$S=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{3}{4}$.

3) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,7777… dưới dạng phân số.

Giải:

Ta có $0,\mathrm{777...}=0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{{10}^2}+\frac{7}{{10}^3}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9}$.

Vậy $0,\mathrm{777...}=\frac{7}{9}$.