Chuyển đổi dạng tham số, chính tắc của phương trình đường thẳng trong không gian - Toán 12
Phương trình đường thẳng trong không gian - Từ điển Toá.. Chuyển đổi dạng tham số, chính tắc của phương trình đường thẳng trong không gian - Toán 12
Chuyển đổi dạng tham số, chính tắc của phương trình đường thẳng trong không gian
1. Chuyển từ phương trình chính tắc thành phương trình tham số
2. Chuyển từ phương trình tham số thành phương trình chính tắc
3. Bài tập vận dụng
1. Chuyển từ phương trình chính tắc thành phương trình tham số
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).
Để lập phương trình tham số của d, ta thực hiện:
Bước 1: Đặt \(t = \frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) \((t \in \mathbb{R})\).
Bước 2: Lập hệ phương trình biểu diễn x, y, z theo t:
\(\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - {x_0}}}{a}\\t = \frac{{y - {y_0}}}{b}\\t = \frac{{z - {z_0}}}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = at\\y - {y_0} = bt\\z - {z_0} = ct\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
Vậy ta được phương trình tham số của d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
Ví dụ minh hoạ:
Cho phương trình chính tắc của d: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{1}\).
Đặt \(t = \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{1}\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 1}}{1}\\t = \frac{{y - 1}}{{ - 2}}\\t = \frac{{z - 2}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = t\\y - 1 = - 2t\\z - 2 = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
Vậy phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
2. Chuyển từ phương trình tham số thành phương trình chính tắc
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Để lập phương trình chính tắc của d, ta thực hiện:
Bước 1: Rút t theo x, y, z.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = at\\y - {y_0} = bt\\z - {z_0} = ct\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - {x_0}}}{a}\\t = \frac{{y - {y_0}}}{b}\\t = \frac{{z - {z_0}}}{c}\end{array} \right.\).
Bước 2: Viết phương trình chính tắc của d.
\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}( = t)\).
Ví dụ minh hoạ:
Cho phương trình tham số của d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 1 - 3t}\\{z = {\rm{\;}} - 1 + t}\end{array}} \right.\). Lập phương trình chính tắc của d.
Giải:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 1 - 3t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 = 2t}\\{y - 1 = - 3t}\\{z + 1 = t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 3}}{2}\\t = \frac{{y - 1}}{{ - 3}}\\t = \frac{{z + 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{1}\).
Vậy phương trình chính tắc của d là \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{1}\).
3. Bài tập vận dụng
Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\)?
Gợi ý