Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý. Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố: A và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và $B$; $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

$P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$.

Chú ý: Từ quy tắc nhân xác suất, ta thấy nếu $P\left(AB\right)\ne P\left(A\right).P\left(B\right)$ thì hai biến cố A và B không độc lập.

1) Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Biết $P\left(A\right)=0,6$ và $P\left(B\right)=0,8$. Hãy tính xác suất của các biến cố $AB$, $\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$.

Giải:

Do $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)=0,48$.

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối của $A$ nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,4$.

Do $\overline{A}$ và $B$ độc lập nên $P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(B\right)=0,32$.

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của $B$ nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,2$.

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ độc lập nên $P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(\overline{B}\right)=0,08$.

2) Hai bạn Hạnh và Hà cùng chơi trò chơi bắn cung một cách độc lập. Mỗi bạn chỉ bắn một lần. Xác suất để bạn Hạnh và bạn Hà bắn trúng bia lần lượt là 0,6 và 0,7 trong lần bắn của mình. Tính xác suất của biến cố C: “Bạn Hạnh và bạn Hà đều bắn trúng bia”.

Giải:

Xét biến cố A: “Bạn Hạnh bắn trúng bia”, ta có: $P\left(A\right)=0,6$.

Xét biến cố B: “Bạn Hà bắn trúng bia”, ta có: $P\left(B\right)=0,7$.

Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập và $C=A\cap B$. suy ra:

$P\left(C\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=0,6\cdot 0,7=0,42$.

3) Hai bạn Trung và Dũng của lớp 11A tham gia giải bóng bàn đơn nam do nhà trường tổ chức. Hai bạn đó không cùng thuộc một bảng đấu loại và mỗi bảng đấu loại chỉ chọn một người vào vòng chung kết. Xác suất lọt qua vòng loại để vào vòng chung kết của Trung và Dũng lần lượt là 0,8 và 0,6. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) A: “Cả hai bạn lọt vào vòng chung kết”;

b) B: “Có ít nhất một bạn lọt vào vòng chung kết”;

c) C: “Chỉ có bạn Trung lọt vào vòng chung kết”.

Giải:

Xét các biến cố E: “Bạn Trung lọt vào vòng chung kết” và G: “Bạn Dũng lọt vào vòng chung kết”.

Từ giả thiết, ta suy ra E, G là hai biến cố độc lập và $P\left(E\right)=0,8$; $P\left(G\right)=0,6$.

a) Do $A=E\cap G$ nên $P\left(A\right)=P\left(E\right)\cdot P\left(G\right)=0,8\cdot 0,6=0,48$.

b) Ta thấy $B=E\cup G$, suy ra:

$P\left(B\right)=P(E\cup G)=P\left(E\right)+P\left(G\right)-P(E\cap G)=0,8+0,6-0,48=0,92$.

c) Xét biến cố đối $\overline{G}$ của biến cố G. Ta thấy P($\overline{G}$) = 1 − P(G) = 1 − 0,6 = 0,4 và E, $\overline{G}$ là hai biến cố độc lập. Vì C = E ∩ $\overline{G}$ nên P(C) = P(E) · P($\overline{G}$) = 0,8 · 0,4 = 0,32.