Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác - Toán 10

Hệ thức lượng trong tam giác - Từ điển môn Toán 10

Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

Nội dung chính

1. Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

2. Chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

3. Ví dụ minh hoạ về tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

Gọi $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ là độ dài các đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Ta có:

$m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$ ,

$m_{b}^{2} = \frac{c^{2} + a^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}$ ,

$m_{c}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$ .

Gọi D là trung điểm của BC, ta có: $A D = m_{a}, B D = D C = \frac{a}{2}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD, ta có:

$A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} - 2 A B \cdot B D \cdot cos ˆ A B D = c^{2} + \frac{a^{2}}{4} - c a cos B$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có: $cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$ .

Suy ra $m_{a}^{2} = c^{2} + \frac{a^{2}}{4} - \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$ .

Chứng minh tương tự, ta có:

$m_{b}^{2} = \frac{c^{2} + a^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}$ , $m_{c}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$ .

Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Giải:

Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ .

Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó: