Gọi \({m_a}\), \({m_b}\), \({m_c}\) là độ dài các đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Ta có:

\(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\),

\(m_b^2 = \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}\),

\(m_c^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\).

Gọi D là trung điểm của BC, ta có: \(AD = {m_a},BD = DC = \frac{a}{2}\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD, ta có:

\(A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2AB \cdot BD \cdot \cos \widehat {ABD} = {c^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - ca\cos B\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có: \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\).

Suy ra \(m_a^2 = {c^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\).

Chứng minh tương tự, ta có:

\(m_b^2 = \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}\), \(m_c^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\).

Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC. 

Giải:

Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là \({m_a}\), \({m_b}\), \({m_c}\). 

Áp dụng công thức trung tuyến ta có: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m_a^2 = \frac{{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}}}{4} = \frac{{2({8^2} + {7^2}) - {{10}^2}}}{4} = \frac{{63}}{2}}\\{m_b^2 = \frac{{2({a^2} + {c^2}) - {b^2}}}{4} = \frac{{2({{10}^2} + {7^2}) - {8^2}}}{4} = \frac{{117}}{2}}\\{m_c^2 = \frac{{2({a^2} + {b^2}) - {c^2}}}{4} = \frac{{2({{10}^2} + {8^2}) - {7^2}}}{4} = \frac{{279}}{4}}\end{array}} \right.\) 

Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m_a} = \sqrt {\frac{{63}}{2}}  = \frac{{3\sqrt {14} }}{2}}\\{{m_b} = \sqrt {\frac{{117}}{2}}  = \frac{{3\sqrt {26} }}{2}}\\{{m_c} = \sqrt {\frac{{279}}{4}}  = \frac{{3\sqrt {31} }}{2}}\end{array}} \right.\)