Dạng 1. Tìm ƯC, ƯCLN. BC, BCNN Chủ đề 4 Ôn hè Toán 6

Lý thuyết

* Tìm ước chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

* Tìm ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

* Tìm bội chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các bội B(a) của a và các bội B(b) của b.

Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

* Tìm BCNN:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

* Chú ý: Ước của ƯCLN (a,b) là ƯC(a,b)

Bội của BCNN (a,b) là BC(a,b)

Tích của ƯCLN(a,b) và BCNN(a,b) bằng tích a.b

Bài tập

Bài 1: Xác định số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3.

A. 0.

B. 6.

C. 2.

D. 3.

Bài 2: 8 là ước chung của

A. 12 và 32.

B. 24 và 56.

C. 14 và 48.

D. 18 và 24.

Bài 3: Tìm $BCNN\left(38,76\right)$.

A. 2888.

B. 37.

C. 76.

D. 144.

Bài 4: Tìm ƯCLN$\left(18;60\right)$.

A. 6.

B. 30.

C. 12.

D. 18.

Bài 5: Mẫu số nhỏ nhất khi quy đồng các phân số $\frac{3}{16}$ và $\frac{5}{24}$ là

A. 24.

B. 48.

C. 96.

D. 16.

Bài 6: Viết tập hợp:

a) ƯC(32,24).

b) BC(12,15).

Bài 7: Tìm:

a) ƯCLN(24,54). Từ đó chỉ ra các ƯC(24,54).

b) BCNN(24,18). Từ đó chỉ ra các BC(24,18).

Bài 8: Tìm ƯCLN(24,16,28) và BCNN(24,16,28).

Bài 9. Cho ƯCLN(a,b) = 3³ . 5³; BCNN(a,b) = 2² . 3⁴ . 5⁵.

Tìm a, b dương biết rằng a = 3.b.

Bài 10:

a) Rút gọn $\frac{70}{95}$ về phân số tối giản.

b) Thực hiện phép tính: $\frac{11}{15}-\frac{3}{25}+\frac{9}{10}$.

Bài 11: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

a) $x$ nhỏ nhất, $x⋮45;x⋮110$ và $x⋮75$.

b) $x$ lớn nhất, $x+160$ và $x+300$ đều là bội của $x$.

----HẾT----

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Xác định số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3.

A. 0.

B. 6.

C. 2.

D. 3.

Phương pháp

Tìm B(2), B(3): Muốn tìm bội của một số tự nhiên ta lấy số đó nhân lần lượt với các số 0; 1; 2; 3…

Tìm BC(2,3)

Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung vừa tìm được.

Lời giải

B(2) = {0;2;4;6;8;...}

B(3) = {0;3;6;9;...}

Số nhỏ nhất khác 0 trong bội chung của 2 và 3 là: 6.

Đáp án: B

Bài 2: 8 là ước chung của

A. 12 và 32.

B. 24 và 56.

C. 14 và 48.

D. 18 và 24.

Phương pháp

- Chia các số cho 8

- Nếu cả 2 số cần xét chia hết cho 8 thì 8 là ước chung của 2 số đó.

Lời giải

24:8 = 3;

56:8 = 7

Do đó 8 là ước chung của 24 và 56.

Đáp án: B

Bài 3: Tìm $BCNN\left(38,76\right)$.

A. 2888.

B. 37.

C. 76.

D. 144.

Phương pháp

Nếu $a⋮b$ thì $BCNN\left(a;b\right)=a$

Lời giải

Ta có $76⋮38$ nên $BCNN\left(38;76\right)=76.$

Đáp án: C

Bài 4: Tìm ƯCLN$\left(18;60\right)$.

A. 6.

B. 30.

C. 12.

D. 18.

Phương pháp

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Lời giải

Ta có: $18={2.3}^2;60=2^2.3.5$

Nên ƯCLN$\left(18;60\right)=2.3=6.$

Đáp án: A

Bài 5: Mẫu số nhỏ nhất khi quy đồng các phân số $\frac{3}{16}$ và $\frac{5}{24}$ là

A. 24.

B. 48.

C. 96.

D. 16.

Phương pháp

Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu số (thường là BCNN) để làm mẫu số chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số (bằng cách chia mẫu số chung cho từng mẫu

số riêng).

Bước 3: Nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Lời giải

Ta có:

16 = $2^4$

24 = $2^3.3$

Suy ra BCNN(16, 24) = $2^4.3$ = 48

Mẫu chung nhỏ nhất khi quy đồng $\frac{3}{16}$ và $\frac{5}{24}$ là 48.

Đáp án: B

Bài 6: Viết tập hợp:

a) ƯC(32,24).

b) BC(12,15).

Phương pháp

a) Bước 1: Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

b) Bước 1: Viết tập hợp các bội B(a) của a và các bội B(b) của b.

Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Lời giải

a) Ta có:

Ư(32) = {1;2;4;8;16;32}

Ư(24) = {1;2;3;4;6;8;12;24}

Do đó, ƯC(32,24) = {1;2;4;8}

b) Ta có:

B(12) = {0;12;24;36;48;60;72;84;96;108;120;132;…}

B(15) = {0;15;30;45;60;75;90; 105;120; 135;…}

Do đó, BC(12,15) ={0; 60; 120;…}

Bài 7: Tìm:

a) ƯCLN(24,54). Từ đó chỉ ra các ƯC(24,54).

b) BCNN(24,18). Từ đó chỉ ra các BC(24,18).

Phương pháp

a) * Tìm ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

* Ước của ƯCLN (a,b) là ƯC(a,b)

b) * Tìm BCNN:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

* Bội của BCNN (a,b) là BC(a,b)

Lời giải

a) Ta có:

24 = 2³ . 3

54 = 2. 3³

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 và 3 lần lượt là 1 và 1.

Suy ra ƯCLN(24,54) = 2 . 3 = 6

Ta được: ƯC(24,54) = Ư(6) = {1;2;3;6}

b) Ta có:

24 = 2³ . 3

18 = 2 . 3²

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3, không có thừa số nguyên tố riêng. Số mũ lớn nhất của 2 và 3 lần lượt là 3 và 2.

Suy ra BCNN(24,18) = 2³ . 3² = 72.

Ta được: BC(24,18) = B(72) = {0;72;144;…}

Bài 8: Tìm ƯCLN(24,16,28) và BCNN(24,16,28).

Phương pháp

* Tìm ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

* Ước của ƯCLN(a,b) là ƯC(a,b)

* Tìm BCNN:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Lời giải

Ta có:

24 = 2³ . 3

16 = 2⁴

28 = 2² . 7

* Thừa số nguyên tố chung là 2. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2.

Suy ra ƯCLN (24,16,28) = 2² = 4.

* Thừa số nguyên tố chung là 2, thừa số nguyên tố riêng là 3 và 7. Số mũ lớn nhất của 2 là 4; của 3 là 1, của 7 là 1.

Suy ra BCNN(24,16,28) = 2⁴ . 3 . 7 = 336.

Bài 9. Cho ƯCLN(a,b) = 3³ . 5³; BCNN(a,b) = 2² . 3⁴ . 5⁵.

Tìm a, b dương biết rằng a = 3.b.

Phương pháp

Tích của ƯCLN(a,b) và BCNN(a,b) bằng tích a.b

Kết hợp dữ kiện a = 3.b để tìm a, b

Lời giải

Ta có:

a.b = ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b)

= 3³ . 5³ . 2² . 3⁴ . 5⁵

= 2² . 3⁷ . 5⁸

Mà a = 3.b nên ta có:

3.b.b = 2² . 3⁷ . 5⁸

Hay 3b² = 2² . 3⁷ . 5⁸

Nên b² = 2² . 3⁶ . 5⁸ = (2 . 3³ . 5⁴)²

Do đó, b = 2 . 3³ . 5⁴

Suy ra a = 3 . b = 3 . 2 . 3³ . 5⁴ = 2 . 3⁴ . 5⁴.

Vậy a = 2 . 3⁴ . 5⁴; b = 2 . 3³ . 5⁴

Bài 10:

a) Rút gọn $\frac{70}{95}$ về phân số tối giản.

b) Thực hiện phép tính: $\frac{11}{15}-\frac{3}{25}+\frac{9}{10}$.

Phương pháp

a) - Phân tích các số trên tử và mẫu ra thừa số nguyên tố.

- Tìm ƯCLN của tử và mẫu của mỗi phân số.

- Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN tìm được.

b) - Chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu.

- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với mẫu phụ tương ứng.

- Cộng các phân số cùng mẫu.

Lời giải

a) Ta có:

$\begin{array}{c}70=\mathrm{2.5.7}\\ 95=5.19\end{array}$

Suy ra ƯCLN (70,95) = 5

Do đó $\frac{70}{95}=\frac{70:5}{95:5}=\frac{14}{19}$.

b) Ta có:

15 = 3.5

25 = 5${}^2$

10 = 2.5

Do đó mẫu chung là BCNN(15,25,10) = 2.3.5${}^2$ = 150.

Thừa số phụ của 15 là 10; của 15 là 6; của 10 là 15.

$\begin{array}{c}\frac{11}{15}-\frac{3}{25}+\frac{9}{10}\\ =\frac{11.10}{15.10}-\frac{3.6}{25.6}+\frac{9.15}{10.15}\\ =\frac{110-18+135}{150}\\ =\frac{227}{150}\end{array}$

Bài 11: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

a) $x$ nhỏ nhất, $x⋮45;x⋮110$ và $x⋮75$.

b) $x$ lớn nhất, $x+160$ và $x+300$ đều là bội của $x$.

Phương pháp

a) Từ đề bài suy ra $x\in$BC$\left(105;175;385\right)$ mà $x$ nhỏ nhất nên $x=$ BCNN$\left(45;75;110\right)$.

Tìm bội chung nhỏ nhất theo các bước

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

b) Vì $x+160$ và $x+300$ là bội của $x$ nên $x\in$ ƯC$\left(x+160;x+300\right)$

Vì $x⋮x$ và $x$ lớn nhất nên $x=$ ƯCLN$\left(160;300\right)$

Bài toán quy về bài toán tìm ước chung lớn nhất

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Lời giải

a) Vì $x⋮45;x⋮110$ và $x⋮75$ nên $x\in BC\left(45;75;110\right)$ mà $x$ nhỏ nhất nên $x=BCNN\left(45;75;110\right)$

Ta có $45=3^2.5;75={3.5}^2;110=\mathrm{2.5.11}$

Nên $x=BCNN\left(45;75;110\right)={2.3}^2{.5}^2.11$$=4950.$

b) Vì $x+160$ và $x+300$ đều là bội của $x$ nên $\left(x+160\right)⋮x$ và $\left(x+300\right)⋮x$

Vì $x⋮x$ nên $160⋮x$ và $300⋮x$

Suy ra $x\in$ ƯC$\left(160;300\right)$ 

Vì $x$ lớn nhất nên $x=$ ƯCLN$\left(160;300\right)$

$160=2^5.5$ và $300=2^2.3{.5}^2$

Suy ra $x=$ ƯCLN$\left(160;300\right)$$=2^2.5=20$