Dạng bài chứng minh đẳng thức - Ôn hè Toán 7 lên 8

Lý thuyết

* Tính chất của tỉ lệ thức:

- Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì $ad=bc$.

- Nếu $ad=bc$ (với $a,b,c,d\ne 0$) thì ta có bốn tỉ lệ thức:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d};\frac{a}{c}=\frac{b}{d};\frac{d}{b}=\frac{c}{a};\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$.

* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

- Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$ (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

- Từ dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ suy ra:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+b+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}$ (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

* Đặt “k”

Bước 1: Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị bằng k.

Bước 2. Biểu diễn tử theo tích của k với các mẫu tương ứng.

Bước 3. Thay các giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến một hệ thức đúng.

Bài tập

Bài 1: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

b) $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$ ($a+b\ne 0,c+d\ne 0$).

Bài 2: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}$

b) $\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$.

Bài 3: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

b) $\frac{3a-2c}{3b-2d}=\frac{a+3c}{b+3d}$

Bài 4: Chứng minh rằng nếu $a^2=bc$ (với $a\ne b$ và $a\ne c$) thì $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}$.

Bài 5: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh $\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}$.

Bài 6: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh $\frac{ab}{cd}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{{\left(c-d\right)}^2}$.

Bài 7: Cho $\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$. Chứng minh $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$.

Bài 8: Cho $\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}$. Chứng minh $\frac{x}{y+z}=\frac{1}{2}$.

Bài 9: Cho $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng ${\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)}^3=\frac{a}{d}$.

Bài 10: Cho $a+b+c=a^2+b^2+c^2=1$ và $x:y:z=a:b:c$.

Chứng minh rằng ${\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2$.

--------Hết--------

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

b) $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$ ($a+b\ne 0,c+d\ne 0$).

Phương pháp

a) $\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1;\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}=\frac{c}{d}+1$.

Từ đó viết lại $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$ suy ra điều phải chứng minh.

b) Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$.

Lời giải

a) Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$.

Do đó $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.

b) Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$, suy ra $\frac{b}{a}+1=\frac{d}{c}+1$.

Do đó $\frac{b+a}{a}=\frac{d+c}{c}$, vì vậy $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$.

Bài 2: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}$

b) $\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$.

Phương pháp

a) Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức, đưa $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ về $ad=bc$.

Cộng cả hai vế của đẳng thức với $ab$, đưa về dạng tỉ lệ thức.

b) Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t$, biểu diễn a, c theo t.

Thay hai vế của đẳng thức bởi t để chứng minh.

Lời giải

a) $\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}$

Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $ad=bc$, dó đó $ad+ab=bc+ab$

Suy ra $a\left(d+b\right)=b\left(c+a\right)$, do đó $\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}$.

b) $\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$.

Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t$, suy ra $a=bt;c=dt$.

Xét vế trái:

$\frac{ac}{bd}=\frac{bt.dt}{bd}=\frac{bd{t}^2}{bd}=t^2$.

Xét vế phải:

$\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{{\left(bt\right)}^2+{\left(dt\right)}^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2{t}^2+d^2{t}^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(b^2+d^2\right)t^2}{b^2+d^2}=t^2$.

Do đó $\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$.

Bài 3: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

b) $\frac{3a-2c}{3b-2d}=\frac{a+3c}{b+3d}$

Phương pháp

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

a) Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$.

b) Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{b}=\frac{3a}{3b}=\frac{-2c}{-2d}=\frac{c}{d}=\frac{3a-2c}{3b-2d}$.

Tương tự ta có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3c}{3d}=\frac{a+3c}{b+3d}$.

Do đó $\frac{3a-2c}{3b-2d}=\frac{a+3c}{b+3d}$.

Bài 4: Chứng minh rằng nếu $a^2=bc$ (với $a\ne b$ và $a\ne c$) thì $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}$.

Phương pháp

Từ $a^2=bc$ lập tỉ lệ thức.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

Vì $a^2=bc$ nên $\frac{a}{c}=\frac{b}{a}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}$

Do đó $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}$.

Bài 5: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh $\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}$.

Phương pháp

Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$. Do đó $\frac{a}{c}=\frac{3a}{3c}=\frac{b}{d}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{c}=\frac{3a}{3c}=\frac{b}{d}=\frac{3a+b}{3c+d}$

Suy ra $\frac{a}{c}=\frac{3a+b}{3c+d}$.

Do đó $\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}$

Bài 6: Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh $\frac{ab}{cd}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{{\left(c-d\right)}^2}$.

Phương pháp

Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

Vì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}$.

Ta có: $\frac{ab}{cd}=\frac{a}{c}.\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}.\frac{a-b}{c-d}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{{\left(c-d\right)}^2}$.

Vậy $\frac{ab}{cd}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{{\left(c-d\right)}^2}$.

Bài 7: Cho $\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$. Chứng minh $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$.

Phương pháp

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{bz-cy}{a}$ với $x$;

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{cx-az}{b}$ với $y$;

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{ay-bx}{c}$ với $z$.

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh $\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}=0$

Suy ra các tỉ số tương ứng cần chứng minh.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{c}\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\\ =\frac{bxz-cxy}{ax}=\frac{cxy-ayz}{by}=\frac{ayz-bxz}{cz}\\ =\frac{bxz-cxy+cxy-ayz+ayz-bxz}{ax+by+cz}\\ =\frac{0}{ax+by+cz}=0\end{array}$

+)  $\frac{bz-cy}{a}=0$ suy ra $bz-cy=0$ nên $bz=cy$, suy ra $\frac{z}{c}=\frac{y}{b}$ (1)

+) $\frac{cx-az}{b}=0$ suy ra $cx-az=0$ nên $cx=az$, suy ra $\frac{x}{a}=\frac{z}{c}$ (2)

+) $\frac{ay-bx}{c}=0$ suy ra $ay-bx=0$ nên $ay=bx$, suy ra $\frac{y}{b}=\frac{x}{a}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$.

Bài 8: Cho $\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}$. Chứng minh $\frac{x}{y+z}=\frac{1}{2}$.

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$.

Lời giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}=\frac{x+y+z}{y+z+z+x+x+y}=\frac{x+y+z}{2x+2y+2z}=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}$.

Vậy $\frac{x}{y+z}=\frac{1}{2}$.

Bài 9: Cho $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng ${\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)}^3=\frac{a}{d}$.

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$.

Lời giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}$

Ta có: $\frac{a}{d}=\frac{abc}{bcd}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}.\frac{a+b+c}{b+c+d}.\frac{a+b+c}{b+c+d}={\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)}^3$.

Bài 10: Cho $a+b+c=a^2+b^2+c^2=1$ và $x:y:z=a:b:c$.

Chứng minh rằng ${\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2$.

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$.

Lời giải

Vì $x:y:z=a:b:c$ nên $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z$ (do $a+b+c=1$)

suy ra ${\left(\frac{x}{a}\right)}^2={\left(\frac{y}{b}\right)}^2={\left(\frac{z}{c}\right)}^2=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}={\left(x+y+z\right)}^2$

Ta lại có $\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2$ (do $a^2+b^2+c^2=1$)

Vậy ${\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2$.