Dạng bài hai tam giác bằng nhau - Ôn hè Toán 7 lên 8

Lý thuyết

* Khái niệm:

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

Khi hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau thì ta ký hiệu là $Δ A B C = Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Quy ước: Khi viết hai tam giác bằng nhau, tên đỉnh của hai tam giác đó phải viết theo đúng thứ tự tương ứng với sự bằng nhau.

Chú ý:

- Nếu $A B = A^{'} B^{'}, B C = B^{'} C^{'}, C A = C^{'} A^{'}$ và $\hat{A} = \hat{A^{'}}, \hat{B} = \hat{B^{'}}, \hat{C} = \hat{C^{'}}$ thì $Δ A B C = Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

- Nếu $Δ A B C = Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ thì $A B = A^{'} B^{'}, B C = B^{'} C^{'}, C A = C^{'} A^{'}$ và $\hat{A} = \hat{A^{'}}, \hat{B} = \hat{B^{'}}, \hat{C} = \hat{C^{'}}$ .

* Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác:

Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

Nếu 3 cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét $Δ A B C$ và $Δ M N P$ có:

AB = MN

BC = NP

AC = MP

Vây $Δ A B C = Δ M N P (c . c . c)$

Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Nếu 2 cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng 2 cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét $Δ A B C$ và $Δ M N P$ có:

AB = MN

$\hat{B A C} = \hat{N M P}$

AC = MP

Vây $Δ A B C = Δ M N P (c . g . c)$

Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g)

Nếu 1 cạnh và 2 góc kề của tam giác này bằng 1 cạnh và 2 góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét $Δ A B C$ và $Δ M N P$ có:

$\hat{B} = \hat{N}$

BC = NP

$\hat{C} = \hat{P}$

Vây $Δ A B C = Δ M N P (g . c . g)$

* Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông:

Trường hợp hai cạnh góc vuông

Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Ta có thể kí hiệu là: (c.g.c) hoặc (hai cạnh góc vuông)

Xét $Δ A B C$ và $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ có:

AB = A’B’

$\hat{A} = \hat{A^{'}} (= 90^{\circ})$

AC = A’C’

Vậy $Δ A B C = Δ A^{'} B^{'} C^{'} (c . g . c)$

Trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. (g.c.g)

Xét $Δ A B C$ và $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ có:

$\hat{A} = \hat{A^{'}} (= 90^{\circ})$

AB = A’B’

$\hat{B} = \hat{B^{'}}$

Vậy $Δ A B C = Δ A^{'} B^{'} C^{'} (g . c . g)$

Trường hợp cạnh huyền – góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. (cạnh huyền – góc nhọn)

Xét $Δ A B C$ và $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ có:

$\hat{A} = \hat{A^{'}} (= 90^{\circ})$

BC = B’C’

$\hat{C} = \hat{C^{'}}$

Vậy $Δ A B C = Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Bài tập

Bài 1: Cho $Δ A B C = Δ D E F .$ Cho $\hat{E} = 46^{\circ}$ . Khẳng định đúng là:

A. $\hat{A} = 46^{\circ}$ .

B. $\hat{B} = 46^{\circ}$ .

C. $\hat{F} = 46^{\circ}$ .

D. $\hat{F} = 46^{\circ}$ .

Bài 2: Cho hình vẽ sau. Tam giác bằng với tam giác DEA là:

A. Tam giác ABC.

B. Tam giác CBA.

C. Tam giác DBA.

D. Tam giác BCA.

Bài 3: Cho tam giác BAC và tam giác KEF có $B A = E K,$ $\hat{A} = \hat{K}$ , $C A = K F .$ Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:

A. $Δ B A C = Δ E K F$ .

B. $Δ B A C = Δ E F K$ .

C. $Δ A B C = Δ F K E$ .

D. $Δ B A C = Δ K E F$ .

Bài 4: Cho tam giác DEF và tam giác HKG có $\hat{D} = \hat{H}$ , $\hat{E} = \hat{K}$ , $D E = H K .$ Biết $\hat{F} = 80^{\circ}$ . Số đo góc $G$ là:

A. $70^{\circ}$ .

B. $80^{\circ}$ .

C. $90^{\circ}$ .

D. $100^{\circ}$ .

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại $A$ . Một đường thẳng $d$ bất kì luôn đi qua $A$ . Kẻ BH và CK vuông góc với đường thẳng d. Khẳng định đúng là:

A. BH = CK.

B. $\hat{A B C} = \hat{C A H}$ .

C. $\hat{A B H} = \hat{A C B}$ .

D. AK = BH.

Bài 6: Cho hình vẽ bên, biết $\hat{A} = 100^{\circ}$ , $A B = D B$ , $A C = C D$ .

a) Tính số đo góc D.

b) Chứng tỏ rằng BC là tia phân giác của góc ABD.

Bài 7: Cho hai đoạn thẳng AB và DC cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng.

a) Chứng minh AC = BD và AC // BD; AD = BC và AD // BC.

b) Vẽ $C H ⊥ A B$ tại H. Trên tia đối của tia OH lấy điểm I sao cho OI = OH. Chứng minh $D I ⊥ A B$ .

Bài 8: Cho góc nhọn $x O y$ và tia phân giác Oz của góc đó. Qua điểm I thuộc tia Oz, kẻ đường thẳng vuông góc với Oz, đường thẳng này cắt tia $O x$ , $O y$ lần lượt tại A và B.

a) Chứng minh rằng OA = OB.

b) Trên tia Oz lấy điểm C. Chứng minh $\hat{O A C} = \hat{O B C}$ .

Bài 9: Cho $\hat{x O y}$ . Lấy hai điểm A và B thuộc tia $O x$ sao cho $O A < O B$ . Lấy hai điểm C và D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) AD = BC.

b) $Δ E A B = Δ E C D$ .

c) $O E$ là tia phân giác của $\hat{x O y}$ .

Bài 10: Cho $Δ A B C$ có AB = AC. Vẽ BD và CE lần lượt vuông góc với AC và AB. Gọi I là giao điểm của BD và CE.

a) Chứng minh $Δ A E I = Δ A D I$ .

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.

--------Hết--------

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Cho $Δ A B C = Δ D E F .$ Cho $\hat{E} = 46^{\circ}$ . Khẳng định đúng là:

A. $\hat{A} = 46^{\circ}$ .

B. $\hat{B} = 46^{\circ}$ .

C. $\hat{F} = 46^{\circ}$ .

D. $\hat{F} = 46^{\circ}$ .

Phương pháp

Khi 2 tam giác bằng nhau thì các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải

Vì $Δ A B C = Δ D E F$ nên $\hat{B} = \hat{E}$ (2 góc tương ứng)

suy ra $\hat{B} = 46^{\circ}$

Đáp án: B

Bài 2: Cho hình vẽ sau. Tam giác bằng với tam giác DEA là:

A. Tam giác ABC.

B. Tam giác CBA.

C. Tam giác DBA.

D. Tam giác BCA.

Phương pháp

Hai tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau. (c.c.c)

Lời giải

Xét tam giác DEA và tam giác CBA, ta có:

DE = CB

EA = BA

DA = CA

suy ra $Δ D E A = Δ C B A$ (c.c.c)

Đáp án: B

Bài 3: Cho tam giác BAC và tam giác KEF có $B A = E K,$ $\hat{A} = \hat{K}$ , $C A = K F .$ Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:

A. $Δ B A C = Δ E K F$ .

B. $Δ B A C = Δ E F K$ .

C. $Δ A B C = Δ F K E$ .

D. $Δ B A C = Δ K E F$ .

Phương pháp

Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác.

Lời giải

Xét tam giác BAC và tam giác KEF có $B A = E K,$ $\hat{A} = \hat{K}$ , $C A = K F .$

Suy ra $Δ B A C = Δ E K F$ (c.g.c).

Đáp án: A

Bài 4: Cho tam giác DEF và tam giác HKG có $\hat{D} = \hat{H}$ , $\hat{E} = \hat{K}$ , $D E = H K .$ Biết $\hat{F} = 80^{\circ}$ . Số đo góc $G$ là:

A. $70^{\circ}$ .

B. $80^{\circ}$ .

C. $90^{\circ}$ .

D. $100^{\circ}$ .

Phương pháp

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra tính chất về góc của hai tam giác bằng nhau.

Lời giải

Xét tam giác DEF và tam giác HKG có $\hat{D} = \hat{H}$ , $\hat{E} = \hat{K}$ , $D E = H K,$ do đó $Δ D E F = Δ H K G$ (g.c.g).

Do đó $\hat{G} = \hat{F} = 80^{\circ}$ (hai góc tương ứng).

Đáp án: B

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại $A$ . Một đường thẳng $d$ bất kì luôn đi qua $A$ . Kẻ BH và CK vuông góc với đường thẳng d. Khẳng định đúng là:

A. BH = CK.

B. $\hat{A B C} = \hat{C A H}$ .

C. $\hat{A B H} = \hat{A C B}$ .

D. AK = BH.

Phương pháp

Chứng minh hai tam giác bằng nhau $Δ A B H = Δ C A K$ suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau

Lời giải

Vì $Δ A B C$ vuông cân tại $A$ nên $A B = A C$ (tính chất)

Lại có $\hat{A B H} + \hat{B A H} = 90^{\circ}$ (vì $Δ A B H$ vuông tại $H$ ) và $\hat{C A H} + \hat{B A H} = 90^{\circ}$

Nên $\hat{A B H} = \hat{C A K}$ (cùng phụ với $\hat{B A H}$ )

$Δ A B H = Δ C A K$ (cạnh huyền-góc nhọn) nên $B H = A K .$ (2 cạnh tương ứng)

Đáp án: D

Bài 6: Cho hình vẽ bên, biết $\hat{A} = 100^{\circ}$ , $A B = D B$ , $A C = C D$ .

a) Tính số đo góc D.

b) Chứng tỏ rằng BC là tia phân giác của góc ABD.

Phương pháp

a) Chứng minh $Δ A B C = Δ D B C$ suy ra hai góc tương ứng bằng nhau.

b) Chứng minh $\hat{A B C} = \hat{D B C}$ nên BC là tia phân giác của góc ABD.

Lời giải

a) Xét $Δ A B C$ và $Δ D B C$ có:

AB = DB (gt)

AC = DC (gt)

BC là cạnh chung

nên $Δ A B C = Δ D B C$ (c.c.c)

Suy ra $\hat{D} = \hat{A} = 100^{\circ}$ .

b) Vì $Δ A B C = Δ D B C$ (cmt) nên $\hat{A B C} = \hat{D B C}$ hay BC là tia phân giác của góc ABD.

Bài 7: Cho hai đoạn thẳng AB và DC cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng.

a) Chứng minh AC = BD và AC // BD; AD = BC và AD // BC.

b) Vẽ $C H ⊥ A B$ tại H. Trên tia đối của tia OH lấy điểm I sao cho OI = OH. Chứng minh $D I ⊥ A B$ .

Phương pháp

a) Chứng minh $Δ A O C = Δ B O D$ (c.g.c)

Suy ra AC = BD và $\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$

Hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // BD.

Chứng minh tương tự $Δ A O D = Δ B O C$ để có AD = BC và AD // BC.

b) Chứng minh $Δ C O H = Δ D O I$ (c.g.c)

Suy ra $\hat{D I O} = 90^{\circ}$ nên $D I ⊥ A B$ .

Lời giải

Xét $Δ A O C$ và $Δ B O D$ có:

$\hat{A O C} = \hat{B O C}$ (hai góc đối đỉnh)

$O A = O B$ (gt)

$O C = O D$ (gt)

Do đó $Δ A O C = Δ B O D$ (c.g.c)

Suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // BD.

Vì $Δ A O C = Δ B O D$ nên AC = BD (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự với $Δ A O D$ và $Δ B O C$ để có AD = BC và AD // BC.

b) Xét $Δ C O H$ và $Δ D O I$ có:

$\hat{C O H} = \hat{D O I}$ (hai góc đối đỉnh)

OH = OI (gt)

OC = OB (gt)

Do đó $Δ C O H = Δ D O I$ (c.g.c)

Suy ra $\hat{D I O} = \hat{C H O} = 90^{\circ}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $D I ⊥ A B$ .

a) Chứng minh rằng OA = OB.

b) Trên tia Oz lấy điểm C. Chứng minh $\hat{O A C} = \hat{O B C}$ .

Phương pháp

a) Chứng minh $Δ O A I = Δ O B I$ (g.c.g)

Suy ra $O A = O B$ (hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh $Δ O A C = Δ O B C$ (c.g.c)

Suy ra $\hat{O A C} = \hat{O B C}$ (hai góc tương ứng).

Lời giải

a) Vì Oz là tia phân giác của góc $x O y$ nên ta có: $\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}$ .

Xét $Δ O A I$ và $Δ O B I$ có:

$\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}$ (gt)

OI là cạnh chung

$\hat{O I A} = \hat{O I B} (= 90^{\circ})$ (gt)

Do đó $Δ O A I = Δ O B I$ (g.c.g)

Suy ra $O A = O B$ (hai cạnh tương ứng)

b) Xét $Δ O A C$ và $Δ O B C$ có:

$O C$ là cạnh chung

$\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}$

$O A = O B$ (cmt)

Do đó $Δ O A C = Δ O B C$ (c.g.c)

Suy ra $\hat{O A C} = \hat{O B C}$ (hai góc tương ứng).

a) AD = BC.

b) $Δ E A B = Δ E C D$ .

c) $O E$ là tia phân giác của $\hat{x O y}$ .

Phương pháp

a) Chứng minh $Δ A O D = Δ C O B$ (c.g.c)

Suy ra $A D = B C$ (cạnh tương ứng)

b) Chứng minh $C D = A B$

Chứng minh $\hat{D C E} = \hat{B A E}$

Suy ra $Δ E A B = Δ E C D$ (g.c.g)

c) Chứng minh $Δ O E D = Δ O E B$ (c.c.c)

suy ra $\hat{D O E} = \hat{B O E}$ (góc tương ứng) nên OE là tia phân giác của góc xOy.

Lời giải

a) Xét $Δ A O D$ và $Δ C O B$ có

$O A = O C$ (gt)

$\hat{O}$ chung

$O D = O B$ (gt)

Do đó $Δ A O D = Δ C O B$ (c.g.c)

Suy ra $A D = B C$ (cạnh tương ứng)

b) Ta có: $O D = O B$ (gt)

$O C = O A$ (gt)

suy ra $O D - O C = O B - O A$ hay $C D = A B$

$\hat{D C E} + \hat{O C B} = 180^{\circ}$ (kề bù), tương tự $\hat{B A E} + \hat{O A D} = 180^{\circ}$

Mà $\hat{O C B} = \hat{O A D}$ (do $Δ A O D = Δ C O B$ ) suy ra $\hat{D C E} = \hat{B A E}$

Xét $Δ E A B$ và $Δ E C D$ có:

$\hat{B} = \hat{D}$ (do $Δ A O D = Δ C O B$ )

$A B = C D$ (cmt)

$\hat{D C E} = \hat{B A E}$ (cmt)

Do đó: $Δ E A B = Δ E C D$ (g.c.g)

c) Xét $Δ O E D$ và $Δ O E B$ có

OE cạnh chung

$E D = E B$ (do $Δ E A B = Δ E C D$ )

$O D = O B$ (gt)

Do đó $Δ O E D = Δ O E B$ (c.c.c)

suy ra $\hat{D O E} = \hat{B O E}$ (góc tương ứng)

Do đó OE là tia phân giác của góc xOy.

Bài 10: Cho $Δ A B C$ có AB = AC. Vẽ BD và CE lần lượt vuông góc với AC và AB. Gọi I là giao điểm của BD và CE.

a) Chứng minh $Δ A E I = Δ A D I$ .

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.

Phương pháp

a) Chứng minh $Δ A E C = Δ A D B$ (ch – gn)

suy ra $A E = A D$ (hai cạnh tương ứng)

Từ đó chứng minh $Δ A E I = Δ A D I$ (ch – cgv)

b) Chứng minh $Δ A M B = Δ A M C$ (c.c.c) nên AM là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

Từ $Δ A E I = Δ A D I$ suy ra AI là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

Suy ra A, M, I thẳng hàng.

Lời giải

a) Xét $Δ A E C$ và $Δ A D B$ có:

$\hat{A}$ chung

AC = AB (gt)

$\hat{A E C} = \hat{A D B} (= 90^{\circ})$ (gt)

Do đó $Δ A E C = Δ A D B$ (ch – gn)

suy ra $A E = A D$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $Δ A E I$ và $Δ A D I$ có:

$\hat{A E I} = \hat{A D I} (= 90^{\circ})$ (gt)

$A I$ là cạnh chung

$A E = A D$ (cmt)

Suy ra $Δ A E I = Δ A D I$ (ch – cgv)

b) Xét $Δ A M B$ và $Δ A M C$ có:

$A M$ là cạnh chung

$A B = A C$ (gt)

$M B = M C$ (M là trung điểm của BC)

Do đó $Δ A M B = Δ A M C$ (c.c.c)

Suy ra $\hat{B A M} = \hat{C A M}$ (hai góc tương ứng), suy ra AM là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

Lại có $Δ A E I = Δ A D I$ (cmt) nên $\hat{E A I} = \hat{D A I}$ , suy ra AI là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

Hai điểm M và I cùng thuộc tia phân giác của góc BAC nên A, M, I thẳng hàng.