Dạng bài tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức - Ôn hè Toán 7 lên 8

Lý thuyết

Đánh giá biểu thức A:

+ Nếu $A\ge a$ (với a là số đã biết) thì giá trị nhỏ nhất của A là a.

+ Nếu $A\le b$ (với b là số đã biết) thì giá trị lớn nhất của A là b.

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa luỹ thừa chẵn

Biểu thức $a^n$ với n là số chẵn (2;4;6;…) thì $a^n\ge 0$ với mọi giá trị của a.

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn bậc hai

Sử dụng kiến thức của căn bậc hai:

$\sqrt{a}\ge 0$ với mọi $a\ge 0$; $-\sqrt{a}\le 0$ với mọi $a\ge 0$.

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Dựa vào tính chất $\left|x\right|\ge 0$.

+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng $A\ge a$ (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a.

+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng $A\le b$ (với b là số đã biết) để suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

- Nếu biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong giá trị tuyệt đối, ta dùng tính chất: Với mọi $x,y\in Q$, ta có:

$\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$; $\left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$.

Chú ý:

+ Ta có: $\left|kx\right|\ge 0$ thì: $\left|kx\right|+a\ge a$; $-\left|kx\right|+a\le a$

Dấu “=” xảy ra khi $kx=0$.

+ Ta có: $\left|kx+b\right|\ge 0$ thì $\left|kx+b\right|+a\ge a$; $-\left|kx+b\right|+a\le a$

Dấu “=” xảy ra khi $kx+b=0$.

+ Ta có: $\left|a\right|+\left|b\right|\ge \left|a+b\right|$

Dấu “=” xảy ra khi $ab\ge 0$.        

Bài tập

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) $A=\frac{2}{\sqrt{x}+3}$.

b) $A=\frac{5}{\sqrt{x}+2}$.

Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) $D=\frac{3}{-2-\sqrt{x}}$.

b) $D=\frac{6}{-3-\sqrt{x}}$.

Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) $A=\frac{1}{2}+2\left|x-\frac{1}{2}\right|$

b) $B=x^2+\left|y-2\right|-5$

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) $A=8-6\left|x-2\right|$

b) $B=\frac{1}{2\left|x-1\right|+3}$

Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{2}+\sqrt{x}$.

Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $A=-\sqrt{x^2+36}+2025$.

Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^2+3\sqrt{x}-2025$ với $x\ge 0$.

Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\sqrt{x^2+169}-2025$.

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $C=\left|3x-5\right|+\left|3x-9\right|$.

Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\left|-x-3\right|+{\left(y-1\right)}^2+{\left(x+3\right)}^4+2$

A. 0.

B. -2.

C. 2.

D. 3.

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P={\left(x^2-4\right)}^2+\left|y-5\right|-1$

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức $C=10-\sqrt{x}-{\left(x-2y+1\right)}^2$ với $x\ge 0$ là:

A. 10.

B. 11.

C. 1.

D.-10.

--------Hết--------

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) $A=\frac{2}{\sqrt{x}+3}$.

b) $A=\frac{5}{\sqrt{x}+2}$.

Phương pháp

Sử dụng kiến thức $\sqrt{a}\ge 0$ với mọi $a\ge 0$.

Đánh giá biểu thức $A\le k$ với mọi $k\in R$ nên giá trị lớn nhất của A là k.

Lời giải

a) Vì $\sqrt{x}\ge 0$ với mọi $x\ge 0$ nên $\sqrt{x}+3\ge 0+3=3$ với mọi $x\ge 0$

Do đó $\frac{2}{\sqrt{x}+3}\le \frac{2}{3}$ với mọi $x\ge 0$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=0$ hay $x=0$

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $\frac{2}{3}$ khi $x=0$.

b) Vì $\sqrt{x}\ge 0$ với mọi $x\ge 0$ nên $\sqrt{x}+2\ge 0+2=2$ với mọi $x\ge 0$

Do đó $\frac{5}{\sqrt{x}+2}\le \frac{5}{2}$ với mọi $x\ge 0$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=0$ hay $x=0$

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $\frac{5}{2}$ khi $x=0$.

Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) $D=\frac{3}{-2-\sqrt{x}}$.

b) $D=\frac{6}{-3-\sqrt{x}}$.

Phương pháp

- Sử dụng kiến thức $-\sqrt{a}\le 0$ với mọi $a\ge 0$.

- Nếu $a\ge b$ thì $\frac{k}{a}\le \frac{k}{b}$ với mọi $k\ge 0$.

Đánh giá biểu thức $D\ge k$ với mọi $k\in R$ nên giá trị nhỏ nhất của D là k.

Lời giải

a) Vì $-\sqrt{x}\le 0$ với mọi $x\ge 0$ nên $-2-\sqrt{x}\le -2$ với mọi $x\ge 0$.

Do đó $\frac{3}{-2-\sqrt{x}}\ge \frac{3}{-2}=\frac{-3}{2}$ với mọi $x\ge 0$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=0$ hay $x=0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $D=\frac{3}{-2-\sqrt{x}}$ là $\frac{-3}{2}$ khi $x=0$.

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D=\frac{6}{-3-\sqrt{x}}$.

b) Vì $-\sqrt{x}\le 0$ với mọi $x\ge 0$ nên $-3-\sqrt{x}\le -3$ với mọi $x\ge 0$.

Do đó $\frac{6}{-3-\sqrt{x}}\ge \frac{6}{-3}=-2$ với mọi $x\ge 0$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=0$ hay $x=0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $D=\frac{6}{-3-\sqrt{x}}$ là $-2$ khi $x=0$.

Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) $A=\frac{1}{2}+2\left|x-\frac{1}{2}\right|$

b) $B=x^2+\left|y-2\right|-5$

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: $\left|a\right|\ge 0$ với mọi $a\in R$; $a^2\ge 0$ với mọi $a\in R$.

Lời giải

a) $A=\frac{1}{2}+2\left|x-\frac{1}{2}\right|$

Ta có: $\left|x-\frac{1}{2}\right|\ge 0$ với mọi $x$.

Do đó $A=\frac{1}{2}+2\left|x-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$ với mọi $x$.

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của A, khi đó $\left|x-\frac{1}{2}\right|=0$ hay $x-\frac{1}{2}=0$, suy ra $x=\frac{1}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{1}{2}$ khi $x=\frac{1}{2}$.

b) $B=x^2+\left|y-2\right|-5$

Ta có: $x^2\ge 0$, $\left|y-2\right|\ge 0$ với mọi $x,y\in R$.

Do đó $B=x^2+\left|y-2\right|-5\ge 0+0-5=-5$

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của B, khi đó $x^2=0$ và $\left|y-2\right|=0$

Suy ra $x=0$ và $y-2=0$ nên $y=2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là $-5$ khi $x=0;y=2$.

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) $A=8-6\left|x-2\right|$

b) $B=\frac{1}{2\left|x-1\right|+3}$

Phương pháp

- Sử dụng kiến thức: $\left|a\right|\ge 0$ với mọi $a\in R$.

- Nếu $a\ge b$ thì $\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}$.

Lời giải

a) Ta có: $\left|x-2\right|\ge 0$ với mọi $x$.

Suy ra $-6\left|x-2\right|\le 0$ với mọi $x$.

Do đó $8-6\left|x-2\right|\le 8$ với mọi $x$.

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của A, khi đó $\left|x-2\right|=0$, do đó $x-2=0$, suy ra $x=2$.

Vậy giá trị lớn nhất của A là 8 khi $x=2$.

b) Ta có: $\left|x-1\right|\ge 0$ với mọi $x$.

Do đó $2\left|x-1\right|\ge 0$, suy ra $2\left|x-1\right|+3\ge 3$ với mọi $x$.

Suy ra $B=\frac{1}{2\left|x-1\right|+3}\le \frac{1}{3}$ với mọi $x$.

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của B, khi đó $\left|x-1\right|=0$, do đó $x-1=0$, suy ra $x=1$.

Vậy giá trị lớn nhất của B là $\frac{1}{3}$ khi $x=1$.

Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{2}+\sqrt{x}$.

Phương pháp

Sử dụng kiến thức $\sqrt{a}\ge 0$ với mọi $a\ge 0$.

Đánh giá biểu thức $P\ge k$ với mọi $k\in R$ nên giá trị nhỏ nhất của P là k.

Lời giải

Ta có: $\sqrt{x}\ge 0$ với mọi $x\ge 0$.

Suy ra $\frac{1}{2}+\sqrt{x}\ge \frac{1}{2}$.

Dấu “=” xảy ra, tức là $P=\frac{1}{2}$ là giá trị nhỏ nhất của P khi $\sqrt{x}=0$ suy ra $x=0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{1}{2}$ khi $x=0$.

Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $A=-\sqrt{x^2+36}+2025$.

Phương pháp

Sử dụng kiến thức $\sqrt{a}\ge 0$ với mọi $a\ge 0$.

Đánh giá biểu thức $A\le k$ với mọi $k\in R$ nên giá trị lớn nhất của A là k.

Lời giải

Ta có: $x^2\ge 0$ với mọi số thực $x$ nên $x^2+36\ge 36$ với mọi số thực $x$.

Suy ra $\sqrt{x^2+49}\ge \sqrt{49}=7$ với mọi số thực $x$.

Suy ra $A=-\sqrt{x^2+49}+2025\le -7+2025=2018$ hay $A\le 2018$ với mọi số thực $x$.

Dấu “=” xảy ra khi $x^2=0$ suy ra $x=0$.

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2018 khi $x=0$.

Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^2+3\sqrt{x}-2025$ với $x\ge 0$.

Phương pháp

Sử dụng kiến thức $x^2\ge 0$ với mọi $x\in R$.

$\sqrt{x}\ge 0$ với mọi $x\ge 0$.

Đánh giá các số hạng của tổng để tìm giá trị nhỏ nhất của $A$.

Lời giải

Ta có: $x^2\ge 0;\sqrt{x}\ge 0$ với mọi số thực $x\ge 0$, suy ra $x^2+3\sqrt{x}\ge 0$ với mọi số thực $x\ge 0$.

Suy ra $x^2+3\sqrt{x}-2025\ge -2025$ với mọi số thực $x\ge 0$.

Do đó $A\ge -2025$ với mọi số thực $x\ge 0$.

Dấu “=” xảy ra khi $x^2=0;\sqrt{x}=0$, suy ra $x=0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -2025 khi $x=0$.

Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\sqrt{x^2+169}-2025$.

Phương pháp

Sử dụng kiến thức $\sqrt{a}\ge 0$ với mọi $a\ge 0$.

Đánh giá biểu thức $M\ge k$ với mọi $k\in R$ nên giá trị nhỏ nhất của M là k.

Lời giải

Vì $x^2\ge 0$ với mọi $x\in R$ nên $x^2+169\ge 169$, suy ra $\sqrt{x^2+169}\ge \sqrt{169}=13$.

Do đó $\sqrt{x^2+169}-2025\ge 13-2025=-2012$.

Dấu “=” xảy ra khi $x^2=0$, suy ra $x=0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2012 khi $x=0$.

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $C=\left|3x-5\right|+\left|3x-9\right|$.

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: $\left|a\right|+\left|b\right|\ge \left|a+b\right|$

Dấu “=” xảy ra khi $ab\ge 0$.

Đánh giá biểu thức $C\ge k$ với mọi $k\in R$ nên giá trị nhỏ nhất của C là k.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{c}C=\left|3x-5\right|+\left|3x-9\right|=\left|3x-5\right|+\left|9-3x\right|\\ \ge \left|3x-5+9-3x\right|=\left|4\right|=4\end{array}$

Do đó $C\ge 4$

Dấu “=” xảy ra khi $\left(3x-5\right).\left(9-3x\right)\ge 0$

Ta có 2 trường hợp:

TH1: $3x-5\ge 0$ và $9-3x\ge 0$

Suy ra $x\ge \frac{5}{3}$ và $x\le 3$ hay $\frac{5}{3}\le x\le 3$.

TH2: $3x-5\le 0$ và $9-3x\le 0$

Suy ra $x\le \frac{5}{3}$ và $x\ge 3$ (loại do không có giá trị nào của $x$ thoả mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi $\frac{5}{3}\le x\le 3$.

Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\left|-x-3\right|+{\left(y-1\right)}^2+{\left(x+3\right)}^4+2$

A. 0.

B. -2.

C. 2.

D. 3.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức $A\ge k$ với mọi $k\in R$ nên giá trị nhỏ nhất của A là k.

Sử dụng kiến thức: $|a|\ge 0$ với mọi $a\in R$;

$b^2\ge 0,b^4\ge 0$ với mọi $b\in R$

Lời giải

Vì $\left|-x-3\right|\ge 0;{\left(y-1\right)}^2\ge 0;{\left(x+3\right)}^4\ge 0$ với mọi $x,y\in R$;

$A=\left|-x-3\right|+{\left(y-1\right)}^2+{\left(x+3\right)}^4+2\ge 0+0+0+2=2$

Dấu “ = “ xảy ra khi –x – 3 = 0 ; y – 1 = 0 ; x + 3 = 0

suy ra $x=-3;y=1$

Vậy min A = 2 khi x  = -3; y = 1

Đáp án: C

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P={\left(x^2-4\right)}^2+\left|y-5\right|-1$

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức $P\ge k$ với mọi $k\in R$ nên giá trị nhỏ nhất của P là k.

Sử dụng kiến thức: $|a|\ge 0$ với mọi $a\in R$; $b^2\ge 0$ với mọi $b\in R$

Lời giải

Ta có: ${\left(x^2-4\right)}^2\ge 0$; $\left|y-5\right|\ge 0$ với mọi $x,y\in R$ nên $P={\left(x^2-4\right)}^2+\left|y-5\right|-1\ge 0+0-1=-1$ với mọi $x,y\in R$.

Dấu “=” xảy ra khi $x^2-4=0$ và $y-5=0$

* $x^2-4=0$

$x^2=4$

$x=2$ hoặc $x=-2$

* $y-5=0$

$y=5$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -1 khi $x\in \left\{2;-2\right\}$ và $y=5$.

Đáp án: D

Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức $C=10-\sqrt{x}-{\left(x-2y+1\right)}^2$ với $x\ge 0$ là:

A. 10.

B. 11.

C. 1.

D. -10.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức $C\le k$ với mọi $k\in R$ nên giá trị lớn nhất của C là k.

Sử dụng kiến thức: $\sqrt{a}\ge 0$ với mọi $a\ge 0$; $b^2\ge 0$ với mọi $b\in R$

Dẫn đến $-\sqrt{a}\le 0$ với mọi $a\ge 0$; $-b^2\le 0$ với mọi $b\in R$

Lời giải

Ta có: $\sqrt{x}\ge 0$ với mọi $x\ge 0$, ${\left(x-2y+1\right)}^2\ge 0$ với mọi $x,y$.

Suy ra $-\sqrt{x}\le 0$ với mọi $x\ge 0$, $-{\left(x-2y+1\right)}^2\le 0$ với mọi $x,y$.

Do đó $-\sqrt{x}-{\left(x-2y+1\right)}^2\le 0$ với mọi $x\ge 0,y\in R$.

Suy ra $C=10-\sqrt{x}-{\left(x-2y+1\right)}^2\le 10+0=10$ với mọi $x\ge 0,y\in R$.

Giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi $\sqrt{x}=0$ và ${\left(x-2y+1\right)}^2=0$

Suy ra $x=0$ và ${\left(0-2y+1\right)}^2=0$

${\left(1-2y\right)}^2=0$

$1-2y=0$

$2y=1$

$y=\frac{1}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi $x=0;y=\frac{1}{2}$.

Đáp án: A