Dạng bài tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức - Ôn hè Toán 7 lên 8

Lý thuyết

Đánh giá biểu thức A:

+ Nếu (với a là số đã biết) thì giá trị nhỏ nhất của A là a.

+ Nếu (với b là số đã biết) thì giá trị lớn nhất của A là b.

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa luỹ thừa chẵn

Biểu thức với n là số chẵn (2;4;6;…) thì với mọi giá trị của a.

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn bậc hai

Sử dụng kiến thức của căn bậc hai:

với mọi ; với mọi .

* Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Dựa vào tính chất .

+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a.

+ Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng (với b là số đã biết) để suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

- Nếu biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong giá trị tuyệt đối, ta dùng tính chất: Với mọi , ta có:

; .

Chú ý:

+ Ta có: thì: ;

Dấu “=” xảy ra khi .

+ Ta có: thì ;

Dấu “=” xảy ra khi .

+ Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi .        

Bài tập

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) .

b) .

Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) .

b) .

Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a)

b)

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a)

b)

Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức với .

Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A. 0.

B. -2.

C. 2.

D. 3.

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức với là:

A. 10.

B. 11.

C. 1.

D.-10.

--------Hết--------

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) .

b) .

Phương pháp

Sử dụng kiến thức với mọi .

Đánh giá biểu thức với mọi nên giá trị lớn nhất của A là k.

Lời giải

a) Vì với mọi nên với mọi

Do đó với mọi .

Dấu “=” xảy ra khi hay

Vậy giá trị lớn nhất của là khi .

b) Vì với mọi nên với mọi

Do đó với mọi .

Dấu “=” xảy ra khi hay

Vậy giá trị lớn nhất của là khi .

Bài 2: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) .

b) .

Phương pháp

- Sử dụng kiến thức với mọi .

- Nếu thì với mọi .

Đánh giá biểu thức với mọi nên giá trị nhỏ nhất của D là k.

Lời giải

a) Vì với mọi nên với mọi .

Do đó với mọi .

Dấu “=” xảy ra khi hay .

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi .

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

b) Vì với mọi nên với mọi .

Do đó với mọi .

Dấu “=” xảy ra khi hay .

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi .

Bài 3: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a)

b)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: với mọi ; với mọi .

Lời giải

a)

Ta có: với mọi .

Do đó với mọi .

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của A, khi đó hay , suy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi .

b)

Ta có: , với mọi .

Do đó

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của B, khi đó và

Suy ra và nên

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là khi .

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

a)

b)

Phương pháp

- Sử dụng kiến thức: với mọi .

- Nếu thì .

Lời giải

a) Ta có: với mọi .

Suy ra với mọi .

Do đó với mọi .

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của A, khi đó , do đó , suy ra .

Vậy giá trị lớn nhất của A là 8 khi .

b) Ta có: với mọi .

Do đó , suy ra với mọi .

Suy ra với mọi .

Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của B, khi đó , do đó , suy ra .

Vậy giá trị lớn nhất của B là khi .

Bài 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Phương pháp

Sử dụng kiến thức với mọi .

Đánh giá biểu thức với mọi nên giá trị nhỏ nhất của P là k.

Lời giải

Ta có: với mọi .

Suy ra .

Dấu “=” xảy ra, tức là là giá trị nhỏ nhất của P khi suy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi .

Bài 6: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức .

Phương pháp

Sử dụng kiến thức với mọi .

Đánh giá biểu thức với mọi nên giá trị lớn nhất của A là k.

Lời giải

Ta có: với mọi số thực nên với mọi số thực .

Suy ra với mọi số thực .

Suy ra hay với mọi số thực .

Dấu “=” xảy ra khi suy ra .

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2018 khi .

Bài 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức với .

Phương pháp

Sử dụng kiến thức với mọi .

với mọi .

Đánh giá các số hạng của tổng để tìm giá trị nhỏ nhất của .

Lời giải

Ta có: với mọi số thực , suy ra với mọi số thực .

Suy ra với mọi số thực .

Do đó với mọi số thực .

Dấu “=” xảy ra khi , suy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -2025 khi .

Bài 8: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Phương pháp

Sử dụng kiến thức với mọi .

Đánh giá biểu thức với mọi nên giá trị nhỏ nhất của M là k.

Lời giải

Vì với mọi nên , suy ra .

Do đó .

Dấu “=” xảy ra khi , suy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2012 khi .

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Phương pháp

Sử dụng kiến thức:

Dấu “=” xảy ra khi .

Đánh giá biểu thức với mọi nên giá trị nhỏ nhất của C là k.

Lời giải

Ta có:

Do đó

Dấu “=” xảy ra khi

Ta có 2 trường hợp:

TH1: và

Suy ra và hay .

TH2: và

Suy ra và (loại do không có giá trị nào của thoả mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi .

Bài 10: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A. 0.

B. -2.

C. 2.

D. 3.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức với mọi nên giá trị nhỏ nhất của A là k.

Sử dụng kiến thức: với mọi ;

với mọi

Lời giải

Vì với mọi ;

Dấu “ = “ xảy ra khi –x – 3 = 0 ; y – 1 = 0 ; x + 3 = 0

suy ra

Vậy min A = 2 khi x  = -3; y = 1

Đáp án: C

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức với mọi nên giá trị nhỏ nhất của P là k.

Sử dụng kiến thức: với mọi ; với mọi

Lời giải

Ta có: ; với mọi nên với mọi .

Dấu “=” xảy ra khi và

*

hoặc

*

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -1 khi và .

Đáp án: D

Bài 12: Giá trị lớn nhất của biểu thức với là:

A. 10.

B. 11.

C. 1.

D. -10.

Phương pháp

Đánh giá biểu thức với mọi nên giá trị lớn nhất của C là k.

Sử dụng kiến thức: với mọi ; với mọi

Dẫn đến với mọi ; với mọi

Lời giải

Ta có: với mọi , với mọi .

Suy ra với mọi , với mọi .

Do đó với mọi .

Suy ra với mọi .

Giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi và

Suy ra và

Vậy giá trị lớn nhất của C bằng 10 khi .

Đáp án: A