Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in (a;b)\). Nếu hàm số \(y' = f'(x)\) lại có đạo hàm tại \(x\) thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x\), kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''(x)\).

1) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^2} + {e^{2x - 1}}\). Từ đó tính \(y''(0)\).

Giải:

Ta có: \(y' = 2x + (2x - 1)' \cdot {e^{2x - 1}} = 2x + 2{e^{2x - 1}}\), \(y'' = 2 + 2(2x - 1)' \cdot {e^{2x - 1}} = 2 + 4{e^{2x - 1}}\).

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là \(y'' = 2 + 4{e^{2x - 1}}\).

Khi đó ta có: \(y''(0) = 2 + 4{e^{ - 1}}\).

2) Cho hàm số \(f(x) = {x^4} - 4{x^2} + 3\).

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm \(x\) bất kì.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm \({x_0} =  - 1\).

Giải:

a) Ta có: \(f'(x) = 4{x^3} - 8x\) và \(f''(x) = 12{x^2} - 8\).

b) Vì \(f''(x) = 12{x^2} - 8\) nên \(f''( - 1) = 12.{( - 1)^2} - 8 = 4\).

3) Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x + 2}}\).

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm \(x \ne  - 2\).

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm \({x_0} = 2\).

Giải:

a) Với \(x \ne  - 2\), ta có: \(f'(x) = \left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right)' =  - \frac{{(x + 2)'}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{(x + 2)}^2}}}\); \(f''(x) = \left[ {\frac{{ - 1}}{{{{(x + 2)}^2}}}} \right]' = \frac{{[{{(x + 2)}^2}]'}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{{2(x + 2)}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{2}{{{{(x + 2)}^3}}}\).

b) Vì \(f''(x) = \frac{2}{{{{(x + 2)}^3}}}\) nên \(f''(2) = \frac{2}{{{{(2 + 2)}^3}}} = \frac{1}{{32}}\).

Đạo hàm cấp hai s’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

Ví dụ minh hoạ:

Một vật chuyển động thẳng không đều xác định bởi phương trình \(s(t) = {t^2} - 4t + 3\), trong đó \(s\) tính bằng mét và \(t\) là thời gian tính bằng giây. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 4\).

Giải:

Ta có \(s'(t) = 2t - 4\); \(s''(t) = 2\). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 4\) là \(s''(4) = 2\) \({\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\).