Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \({x_0} \in (a;b)\).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm \({x_0}\), kí hiệu bởi \(f'({x_0})\) (hoặc \(y'({x_0})\), tức là \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).

Ví dụ minh hoạ:

Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 2x\) tại điểm \({x_0} = 1\).

Giải:

Ta có: \(f(x) - f(1) = {x^2} + 2x - 3 = {x^2} - 1 + 2x - 2 = (x - 1)(x + 3)\).

Với \(x \ne 1\), \(\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \frac{{(x - 1)(x + 3)}}{{x - 1}} = x + 3\).

Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 3) = 4\).

Vậy \(f'(1) = 4\).

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

\(f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{({x^2} + 2x) - 3}}{{x - 1}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x + 3)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 3) = 4\).

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảngđó, kí hiệu là y’ = f’(x).

Ví dụ minh hoạ:

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = c{x^2}\), với c là hằng số.

Giải:

Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{c{x^2} - cx_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{c(x - {x_0})(x + {x_0})}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c(x + {x_0}) = c({x_0} + {x_0}) = 2c{x_0}\).

Vậy hàm số \(y = c{x^2}\) (với \(c\) là hằng số) có đạo hàm là hàm số \(y' = 2cx\).