Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm $x_0\in (a;b)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì gới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm $x_0$, kí hiệu bởi $f^{\prime }\left(x_0\right)$ (hoặc $y^{\prime }\left(x_0\right)$, tức là $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Ví dụ minh hoạ:

Tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)=x^2+2x$ tại điểm $x_0=1$.

Giải:

Ta có: $f\left(x\right)-f\left(1\right)=x^2+2x-3=x^2-1+2x-2=(x-1)(x+3)$.

Với $x\ne 1$, $\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=x+3$.

Tính giới hạn: $\underset{x\to 1}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}(x+3)=4$.

Vậy $f^{\prime }\left(1\right)=4$.

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

$f^{\prime }\left(1\right)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x^2+2x)-3}{x-1}$

$=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}(x+3)=4$.

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảngđó, kí hiệu là y’ = f’(x).

Ví dụ minh hoạ:

Tìm đạo hàm của hàm số $y=c{x}^2$, với c là hằng số.

Giải:

Với $x_0$ bất kì, ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{c{x}^2-c{x}_0^2}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{c(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}c(x+x_0)=c(x_0+x_0)=2c{x}_0$.

Vậy hàm số $y=c{x}^2$ (với $c$ là hằng số) có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=2cx$.