Dãy số bị chặn là gì? Cách chứng minh, xét tính bị chặn của dãy số - Toán 11

Dãy số - Từ điển môn Toán 11

Dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn dưới. Cách chứng minh, xét tính bị chặn của dãy số

Nội dung chính

1. Khái niệm dãy số bị chặn

2. Cách xét tính bị chặn của dãy số

3. Cách chứng minh dãy số bị chặn

4. Bài tập vận dụng

a) Dãy số bị chặn trên

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho $u_{n} \leq M$ , $\forall n \in N^{*}$ .

Nói cách khác, nếu tất cả các số hạng của dãy $(u_{n})$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng một số thực thì dãy số đó bị chặn trên.

b) Dãy số bị chặn dưới

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho $u_{n} \geq m$ , $\forall n \in N^{*}$ .

Nói cách khác, nếu tất cả các số hạng của dãy $(u_{n})$ luôn lớn hơn hoặc bằng một số thực thì dãy số đó bị chặn dưới.

c) Dãy số bị chặn

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

Nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho:

m \leq u_{n} \leq M

\forall n \in N^{*}

Sử dụng định nghĩa.

Ví dụ minh hoạ:

Xét tính bị chặn của các dãy số:

a) $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ ;

b) $(v_{n})$ với $v_{n} = \frac{n - 1}{n}$

Giải:

a) $u_{n} = \frac{1}{2^{n}} \leq \frac{1}{2}$ , $\forall n \in N^{*}$ . Vậy $(u_{n})$ bị chặn trên.

$u_{n} = \frac{1}{2^{n}} > 0$ , $\forall n \in N^{*}$ . Vậy $(u_{n})$ bị chặn dưới.

Vậy $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.

b) $v_{n} = \frac{n - 1}{n} = 1 - \frac{1}{n} < 1$ , $\forall n \in N^{*}$ . Vậy $(v_{n})$ bị chặn trên.

$v_{n} = \frac{n - 1}{n} \geq 0$ nên $(v_{n})$ bị chặn dưới.

Vậy $(v_{n})$ là dãy số bị chặn.

Sử dụng định nghĩa.

- Để chứng minh dãy số bị chặn trên, ta tìm một số M sao cho $u_{n} \leq M$ , $\forall n \in N^{*}$ .

- Để chứng minh dãy số bị chặn dưới, ta tìm một số m sao cho $u_{n} \geq m$ , $\forall n \in N^{*}$ .

- Để chứng minh dãy số bị chặn, ta tìm các số M và m sao cho $m \leq u_{n} \leq M$ , $\forall n \in N^{*}$ .

00:00 Đã làm 0/7 câu

Luyện tập

Câu 1 Nhận biết

Khẳng định nào sau đây là sai?

Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.

Một dãy số giảm thì bị chặn trên.

Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.

Một dãy số không đổi thì bị chặn.