Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương $N^{\ast }$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u = u(n).

Ta thường viết $u_n$ thay cho u(n) và kí hiệu dãy số u = u(n) bởi $\left(u_n\right)$, do đó dãy số $\left(u_n\right)$ được viết dưới dạng khai triển $u_1,u_2,u_3,...,u_n,...$

Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu $\forall n\in N^{\ast }$, $u_n=c$ thì $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số không đổi.

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; …; m} với $m\in N^{\ast }$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_1,u_2,u_3,...,u_m$.

Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, số $u_m$ gọi là số hạng cuối.

Một dãy số có thể cho bằng:

a) Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy số hữu hạn).

Ví dụ: 1; 3; 5; 7; 9.

b) Công thức của số hạng tổng quát.

Ví dụ: $u_n=2n+1$.

c) Phương pháp mô tả.

Ví dụ: $d_n$ là chu vi của đường tròn có bán kính n.

d) Phương pháp truy hồi.

Ví dụ: .