Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là:

+ Dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

+ Dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Để xét tính tăng giảm của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\), ta thực hiện:

Bước 1: Tính \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Bước 2: Xét:

- Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng.

- Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.

Ví dụ minh hoạ:

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = \frac{1}{n}\);

b) \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = {n^2}\);

c) \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {( - 2)^n}\);

d) \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = \frac{n}{{n + 1}}\);

e) \(\left( {{e_n}} \right)\) với \({e_n} = n - {n^2}\).

Giải:

a) \({a_{n + 1}} - {a_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{n - (n + 1)}}{{n(n + 1)}} = \frac{{ - 1}}{{n + 1}} < 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{a_n}} \right)\) là dãy số giảm.

b) \({b_{n + 1}} - {b_n} = {(n + 1)^2} - {n^2} = 2n + 1 > 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{b_n}} \right)\) là dãy số tăng.

c) Ta có \({c_n} = {( - 2)^n} > 0\) nếu n chẵn, \({c_n} = {( - 2)^n} < 0\) nếu n lẻ. Do đó \(\left( {{c_n}} \right)\) không là dãy số tăng, không là dãy số giảm.

d) \({d_{n + 1}} - {d_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{n}{{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} - \frac{n}{{n + 1}}\)

\( = \frac{{{{(n + 1)}^2} - n(n + 2)}}{{(n + 1)(n + 2)}} = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}} > 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy số tăng.

e) \({e_{n + 1}} - {e_n} = \left[ {(n + 1) - {{(n + 1)}^2}} \right] - \left( {n - {n^2}} \right)\)

\(=  - {n^2} - n - n + {n^2} =  - 2n < 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{e_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng, ta chứng minh \({u_{n + 1}} > {u_n}\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm, ta chứng minh \({u_{n + 1}} < {u_n}\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).