Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là:

+ Dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$, $\forall n\in N^{\ast }$.

+ Dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$, $\forall n\in N^{\ast }$.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ $\left(n\in N^{\ast }\right)$. Để xét tính tăng giảm của dãy $\left(u_n\right)$, ta thực hiện:

Bước 1: Tính $u_{n+1}-u_n$.

Bước 2: Xét:

- Nếu $u_{n+1}-u_n>0$ $\forall n\in N^{\ast }$ thì dãy $\left(u_n\right)$ tăng.

- Nếu $u_{n+1}-u_n<0$ $\forall n\in N^{\ast }$ thì dãy $\left(u_n\right)$ giảm.

Ví dụ minh hoạ:

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) $\left(a_n\right)$ với $a_n=\frac{1}{n}$;

b) $\left(b_n\right)$ với $b_n=n^2$;

c) $\left(c_n\right)$ với $c_n=(-2{)}^n$;

d) $\left(d_n\right)$ với $d_n=\frac{n}{n+1}$;

e) $\left(e_n\right)$ với $e_n=n-n^2$.

Giải:

a) $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n+1}<0$ $\forall n\in N^{\ast }$ nên $\left(a_n\right)$ là dãy số giảm.

b) $b_{n+1}-b_n=(n+1{)}^2-n^2=2n+1>0$ $\forall n\in N^{\ast }$ nên $\left(b_n\right)$ là dãy số tăng.

c) Ta có $c_n=(-2{)}^n>0$ nếu n chẵn, $c_n=(-2{)}^n<0$ nếu n lẻ. Do đó $\left(c_n\right)$ không là dãy số tăng, không là dãy số giảm.

d) $d_{n+1}-d_n=\frac{n+1}{n+1+1}-\frac{n}{n+1}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}$

$=\frac{{(n+1)}^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ $\forall n\in N^{\ast }$ nên $\left(d_n\right)$ là dãy số tăng.

e) $e_{n+1}-e_n=\left[(n+1)-{(n+1)}^2\right]-\left(n-n^2\right)$

$=-n^2-n-n+n^2=-2n<0$ $\forall n\in N^{\ast }$ nên $\left(e_n\right)$ là dãy số giảm.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ $\left(n\in N^{\ast }\right)$.

Để chứng minh $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng, ta chứng minh $u_{n+1}>u_n$ hay $u_{n+1}-u_n>0$, $\forall n\in N^{\ast }$.

Để chứng minh $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm, ta chứng minh $u_{n+1}<u_n$ hay $u_{n+1}-u_n<0$, $\forall n\in N^{\ast }$.