Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 3

Câu 1 : Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$0$

Câu 2 : So sánh hai số $5$ và $\sqrt{50} - 2$ .

A.

$5 > \sqrt{50} - 2$
B.

$5 = \sqrt{50} - 2$
C.

$5 < \sqrt{50} - 2$
D.

Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Câu 3 : Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình $- 3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ .

A.

$- \frac{5}{6}$
B.

$\frac{5}{6}$
C.

$- \frac{5}{3}$
D.

$\frac{5}{3}$

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $3 \sqrt{8 a} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{32 a}{25}} - \frac{a}{\sqrt{3}} . \sqrt{\frac{3}{2 a}} - \sqrt{2 a}$ với $a > 0$ ta được:

A.

$\frac{47}{10} \sqrt{a}$
B.

$\frac{21}{5} \sqrt{a}$
C.

$\frac{47}{10} \sqrt{2 a}$
D.

$\frac{47}{5} \sqrt{2 a}$

Câu 5 : Cho hình vẽ dưới đây, góc $D I E$ có số đo bằng

A.

$\frac{1}{2}$ (sđ $   D m E +$ sđ $   C n F$ )
B.

$\frac{1}{2}$ (sđ $   D m E -$ sđ $   C n F$ )
C.

$\frac{1}{2}$ (sđ $   D F +$ sđ $   C E$ )
D.

$\frac{1}{2}$ (sđ $   D F +$ sđ $   C E$ )

Câu 6 : Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến?

A.

$y = - (\frac{x}{2} - 3)$
B.

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} (x + 1)$
C.

$y = - 5 - 3 x$
D.

$y = - (9 + 3 x)$

Câu 7 : Hệ phương trình ${\begin{matrix} x^{2} = 3 x - y y^{2} = 3 y - x \end{matrix}$ có bao nhiêu cặp nghiệm $(x; y)$ ?

A.

$1.$
B.

$2.$
C.

$3.$
D.

$4.$

Câu 8 : Tập nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{7 - x} = 2$ là:

A.

$S = {1; - 7}$
B.

$S = {- 1; 7}$
C.

$S = {7}$
D.

$S = {- 1}$

Câu 9 : Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

A.

Có đỉnh nằm trên đường tròn
B.

Có đỉnh trùng với tâm đường tròn
C.

Có hai cạnh là hai đường kính của đường tròn
D.

Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Câu 10 : Hàm số $y = \frac{3 m}{1 - 2 m} x - 5$ là hàm số bậc nhất khi:

A.

$m \notin {0; \frac{1}{2}}$
B.

$m > 0$
C.

$m \neq 0$
D.

$m \neq \frac{1}{2}$

Câu 11 : Cho hàm số $y = f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ . Tổng các giá trị của $a$ thỏa mãn $f (a) = 3 + \sqrt{5}$ là

A.

$1$
B.

$2 \sqrt{5}$
C.

$0$
D.

$- 2$

Câu 12 : Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ tạo với đường thẳng $y = 2$ (theo chiều dương) một góc bằng $135^{\circ}$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $4$ .

A.

$y = x - 4$
B.

$y = - x - 4$
C.

$y = x + 4$
D.

$y = - x + 4$

Câu 13 : Phép tính $\sqrt{12^{2} . {(- 11)}^{2}}$ có kết quả là?

A.

$- 33$
B.

$- 132$
C.

$132$
D.

Không tồn tại.

Câu 14 : Cho hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là $3$ và hiệu các bình phương của chúng bằng $360$ . Tìm số bé hơn.

A.

$12$
B.

$10$
C.

$21$
D.

$9$

Câu 15 : Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A C = 7 c m, A B = 5 c m$ . Tính $B C; ˆ C$ .

A.

$B C = \sqrt{74} (c m); ˆ C \approx 35^{\circ} 32^{'}$
B.

$B C = \sqrt{74} (c m); ˆ C \approx 36^{\circ} 32^{'}$
C.

$B C = \sqrt{74} (c m); ˆ C \approx 35^{\circ} 33^{'}$
D.

$B C = \sqrt{75} (c m); ˆ C \approx 35^{\circ} 32^{'}$

Câu 16 : Cho tam giác $A B C$ có các đường cao $B D, C E$ . Chọn khẳng định đúng.

A.

Bốn điểm $B, E, D, C$ cùng nằm trên một đường tròn
B.

Năm điểm $A, B, E, D, C$ cùng nằm trên một đường tròn
C.

Cả A, B đều sai
D.

Cả A, B đều đúng

Câu 17 : Phương trình $(2 x + 1)^{4} - 8 (2 x + 1)^{2} - 9 = 0$ có tổng các nghiệm là

A.

$1$
B.

$- 2$
C.

$- 1$
D.

$2 \sqrt{2}$

Câu 18 : Cho parabol $(P) : y = 5 x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = - 4 x - 4$ . Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $(P)$ là:

A.

$1$
B.

$0$
C.

$3$
D.

$2$

Câu 19 : Đồ thị hàm số $y = 5 x - \frac{2}{5}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A.

$A (1; \frac{22}{5})$
B.

$B (\frac{1}{5}; \frac{3}{5})$
C.

$C (- \frac{2}{25}; - \frac{3}{5})$
D.

$D (2; 10)$

Câu 20 : Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích diện tích toàn phần của hình lập phương là $24 c m^{2}$ thì diện tích mặt cầu là:

A.

$4 π$
B.

$4$
C.

$2 π$
D.

$2$

Câu 21 : Phương trình $\sqrt{x^{2} - 2 x + 10} + \sqrt{6 x^{2} - 12 x + 31} = 8$ có nghiệm là

A.

Số lẻ dương
B.

Số chẵn dương
C.

Số lẻ âm
D.

Số vô tỉ

Câu 22 : Một cột đèn điện $A B$ cao $7 m$ có bóng in trên mặt đất là $A C$ dài $4 m .$ Hãy tính góc $ˆ B C A$ (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

A.

$59^{\circ} 45^{'}$
B.

$62^{\circ}$
C.

$61^{\circ} 15^{'}$
D.

$60^{\circ} 15^{'}$

Câu 23 : Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao $h = 10 c m$ và đường kính đáy là $d = 6 c m$ . Tính diện tích các mặt của hộp sữa. Lấy $π \approx 3, 14$

A.

$110 π (c m^{2})$
B.

$129 π (c m^{2})$
C.

$96 π (c m^{2})$
D.

$69 π (c m^{2})$

Câu 24 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế (biết số dãy ghế ít hơn 20).

A.

14 dãy
B.

15 dãy
C.

16 dãy
D.

17 dãy

Câu 25 : Thu gọn $\sqrt[3]{125 a^{3}}$ ta được

A.

$25 a$
B.

$5 a$
C.

$- 25 a^{3}$
D.

$- 5 a$

Câu 26 : Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh $cot 50^{\circ}$ và $cot 46^{\circ}$

A.

$cot 46^{\circ} = cot 50^{\circ}$
B.

$cot 46^{\circ} > cot 50^{\circ}$
C.

$cot 46^{\circ} < cot 50^{\circ}$
D.

$cot 46^{\circ} \geq cot 50^{\circ}$

Câu 27 : Cho đường thẳng $d$ : $y = \frac{1}{3} x - 10$ . Hệ số góc của đường thẳng $d$ là

A.

$3$
B.

$\frac{1}{3}$
C.

$- \frac{1}{3}$
D.

$- 3$

Câu 28 : Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai $2$ giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau $7, 5$ giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau $20$ giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?

A.

$9$ giờ
B.

$12$ giờ
C.

$10$ giờ
D.

$8$ giờ

Câu 29 : Phát biểu nào sau đây đúng nhất

A.

Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp
B.

Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn nội tiếp
C.

Cả A và B đều đúng
D.

Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó

Câu 30 : Tính $x$ trong hình vẽ sau:

A.

$x = 14$
B.

$x = 13$
C.

$x = 12$
D.

$x = \sqrt{145}$

Câu 31 : Cho hai hàm số $f (x) = 6 x^{4}$ và $h (x) = 7 - \frac{3. x}{2}$ . So sánh $f (- 1)$ và $h (\frac{2}{3})$

A.

$f (- 1) = h (\frac{2}{3})$
B.

$f (- 1) > h (\frac{2}{3})$
C.

$f (- 1) < h (\frac{2}{3})$
D.

Không đủ điều kiện so sánh

Câu 32 : Tìm $m$ để hai phương trình $x^{2} + m x + 2 = 0$ và $x^{2} + 2 x + m = 0$ có ít nhất một nghiệm chung.

A.

$1$
B.

$- 3$
C.

$- 1$
D.

$3$

Câu 33 : Tìm cặp giá trị $(m; n)$ để hai hệ phương trình sau tương đương $⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} 3 x + 3 y = 3 x + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} \end{matrix} (I)$ và

${\begin{matrix} x - n y = 1 3 m x + m y = 1 \end{matrix} (I I)$

A.

$(1; \frac{1}{2})$
B.

$(1; - 1)$
C.

$(- 1; 1)$
D.

$(\frac{1}{2}; - 1)$

Câu 34 : Rút gọn biểu thức sau $\sqrt{{(5 - \sqrt{11})}^{2}} + \sqrt{{(3 - \sqrt{11})}^{2}}$ .

A.

$2 + 2 \sqrt{11}$
B.

$8$
C.

$2$
D.

$2 \sqrt{11}$

Câu 35 : Đưa thừa số $5 x \sqrt{\frac{- 12}{x^{3}}}$ ( $x < 0$ ) vào trong dấu căn ta được:

A.

$\sqrt{\frac{300}{x}}$
B.

$\sqrt{\frac{- 300}{x}}$
C.

$- \sqrt{\frac{- 300}{x}}$
D.

$- \sqrt{\frac{- 60}{x}}$

Câu 36 : Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt các đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt các đường thẳng AB tại I. Chọn đáp án đúng.

A.

Các tam giác $F N I, I N E$ cân
B.

$ˆ I E N = 2 ˆ N D C$
C.

$ˆ D N I = 3 ˆ D C N$
D.

Tất cả các câu đều sai

Câu 1 : Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$0$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Câu 2 : So sánh hai số $5$ và $\sqrt{50} - 2$ .

A.

$5 > \sqrt{50} - 2$
B.

$5 = \sqrt{50} - 2$
C.

$5 < \sqrt{50} - 2$
D.

Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

So sánh hai căn bậc hai: Với hai số $a, b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Lời giải chi tiết :

Tách $5 = 7 - 2 = \sqrt{49} - 2$ .

Vì $49 < 50$ nên $\sqrt{49} < \sqrt{50}$

$7 < \sqrt{50}$

$7 - 2 < \sqrt{50} - 2$

$5 < \sqrt{50} - 2$ .

Câu 3 : Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình $- 3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ .

A.

$- \frac{5}{6}$
B.

$\frac{5}{6}$
C.

$- \frac{5}{3}$
D.

$\frac{5}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ thì $⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix} .$

Lời giải chi tiết :

Phương trình $- 3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ có $Δ = 5^{2} - 4.1. (- 3) = 37 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$

Theo định lí Vieftee, ta có $x_{1} + x_{2} = - \frac{5}{- 3} = \frac{5}{3}$ .

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $3 \sqrt{8 a} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{32 a}{25}} - \frac{a}{\sqrt{3}} . \sqrt{\frac{3}{2 a}} - \sqrt{2 a}$ với $a > 0$ ta được:

A.

$\frac{47}{10} \sqrt{a}$
B.

$\frac{21}{5} \sqrt{a}$
C.

$\frac{47}{10} \sqrt{2 a}$
D.

$\frac{47}{5} \sqrt{2 a}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A B}}{B} (A \geq 0, B > 0)$

- Sử dụng công thức khai phương một thương $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ với $A \geq 0, B > 0$ và công thức khai phương một tích $\sqrt{A B} = \sqrt{A} . \sqrt{B}, (A, B \geq 0)$

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

$3 \sqrt{8 a} + \frac{1}{4} \sqrt{\frac{32 a}{25}} - \frac{a}{\sqrt{3}} . \sqrt{\frac{3}{2 a}} - \sqrt{2 a}$ $= 3 \sqrt{4.2 a} + \frac{1}{4} \frac{\sqrt{16.2 a}}{\sqrt{25}} - \frac{a}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2 a}} - \sqrt{2 a}$ $= 3.2 \sqrt{2 a} + \frac{1}{4} . \frac{4 \sqrt{2 a}}{5} - \frac{a}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3} . \sqrt{2 a}}{2 a} - \sqrt{2 a}$ $= 6 \sqrt{2 a} + \frac{1}{5} \sqrt{2 a} - \frac{1}{2} \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a}$

$= \sqrt{2 a} . (6 + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} - 1) = \frac{47}{10} \sqrt{2 a}$

Câu 5 : Cho hình vẽ dưới đây, góc $D I E$ có số đo bằng

A.

$\frac{1}{2}$ (sđ $   D m E +$ sđ $   C n F$ )
B.

$\frac{1}{2}$ (sđ $   D m E -$ sđ $   C n F$ )
C.

$\frac{1}{2}$ (sđ $   D F +$ sđ $   C E$ )
D.

$\frac{1}{2}$ (sđ $   D F +$ sđ $   C E$ )

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

$ˆ D I E =$ $\frac{1}{2}$ (sđ $   D m E +$ sđ $   C n F$ )

Câu 6 : Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến?

A.

$y = - (\frac{x}{2} - 3)$
B.

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} (x + 1)$
C.

$y = - 5 - 3 x$
D.

$y = - (9 + 3 x)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số bậc nhất $y = a x + b$ $(a \neq 0)$ xác định với mọi giá trị của $x$ thuộc $R$ và có tính chất sau

- Đồng biến trên $R$ nếu $a > 0$ .

- Nghịch biến trên $R$ nếu $a < 0$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = - (\frac{x}{2} - 3)$ $\Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} x + 3$ có $a = - \frac{1}{2} < 0$ nên là hàm số nghịch biến

Hàm số $y = \frac{\sqrt{3}}{2} (x + 1)$ $\Leftrightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ có $a = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ nên là hàm số đồng biến

Hàm số $y = - 5 - 3 x$ $\Leftrightarrow y = x - 9$ có $a = - 1 < 0$ nên là hàm số nghịch biến.

Hàm số $y = - (9 + 3 x) \Leftrightarrow y = - 9 - 3 x$ có $a = - 3 < 0$ nên là hàm số nghịch biến.

Câu 7 : Hệ phương trình ${\begin{matrix} x^{2} = 3 x - y y^{2} = 3 y - x \end{matrix}$ có bao nhiêu cặp nghiệm $(x; y)$ ?

A.

$1.$
B.

$2.$
C.

$3.$
D.

$4.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2

+ Trừ vế với vế của hai phương trình ta được phương trình mới

+ Biến đổi phương trình nhận được và kết hợp với một trong hai phương trình ban đầu ta tìm được $x; y$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có : ${\begin{matrix} x^{2} = 3 x - y y^{2} = 3 y - x \end{matrix}$ $\Rightarrow x^{2} - y^{2} = 4 x - 4 y$ $\Rightarrow (x - y) (x + y) - 4 (x - y) = 0 \Leftrightarrow (x - y) (x + y - 4) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x - y = 0 x + y - 4 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = y y = 4 - x \end{matrix}$

Khi $x = y$ thì $x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 2$

Khi $y = 4 - x$ thì $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow x = 2$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $(0; 0), (2; 2)$ .

Câu 8 : Tập nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{7 - x} = 2$ là:

A.

$S = {1; - 7}$
B.

$S = {- 1; 7}$
C.

$S = {7}$
D.

$S = {- 1}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Áp dụng $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = {(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})}^{3} = x + y + 3 \sqrt[3]{x y} (\sqrt{x} + \sqrt{y})$

-Lập phương hai vế, sau đó biến đổi để đưa về dạng cơ bản $\sqrt[3]{x} = a$ thì $x = a^{3}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{7 - x} = 2$

${(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{7 - x})}^{3} = 2^{3}$

$x + 1 + 7 - x + 3 \sqrt[3]{(x + 1) (7 - x)} (\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{7 - x}) = 8$

Mà $\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{7 - x} = 2$ nên ta có phương trình

$3 \sqrt[3]{(x + 1) (7 - x)} . 2 + 8 = 8 6 \sqrt[3]{(x + 1) (7 - x)} = 0$

$\sqrt[3]{(x + 1) (7 - x)} = 0 (x + 1) (7 - x) = 0 [\begin{matrix} x + 1 = 0 7 - x = 0 \end{matrix} [\begin{matrix} x = - 1 x = 7 \end{matrix}$

Tập nghiệm của phương trình là $S = {- 1; 7}$ .

Câu 9 : Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

A.

Có đỉnh nằm trên đường tròn
B.

Có đỉnh trùng với tâm đường tròn
C.

Có hai cạnh là hai đường kính của đường tròn
D.

Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Câu 10 : Hàm số $y = \frac{3 m}{1 - 2 m} x - 5$ là hàm số bậc nhất khi:

A.

$m \notin {0; \frac{1}{2}}$
B.

$m > 0$
C.

$m \neq 0$
D.

$m \neq \frac{1}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số dạng $y = a x + b (a \neq 0)$

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \frac{3 m}{1 - 2 m} x - 5$ là hàm số bậc nhất khi $⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} \frac{3 m}{1 - 2 m} \neq 0 1 - 2 m \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 m \neq 0 2 m \neq 1 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} m \neq 0 m \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$

Chú ý

Học sinh thường quên điều kiện của phân số (mẫu số phái khác $0$ ) khi làm bài dẫn đến thiếu (thừa) giá trị.

Câu 11 : Cho hàm số $y = f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ . Tổng các giá trị của $a$ thỏa mãn $f (a) = 3 + \sqrt{5}$ là

A.

$1$
B.

$2 \sqrt{5}$
C.

$0$
D.

$- 2$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giá trị của hàm số $y = a x^{2} (a \neq 0)$ tại điểm $x = x_{0}$ là $y_{0} = a {x_{o}}^{2}$ .

Sử dụng hằng đẳng thực bình phương của một tổng để tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $f (a) = 3 + \sqrt{5}$

hay $\frac{1}{2} a^{2} = 3 + \sqrt{5}$

$a^{2} = 6 + 2 \sqrt{5}$

$a^{2} = 5 + 2 \sqrt{5} .1 + 1$

$a^{2} = (\sqrt{5})^{2} + 2 \sqrt{5} .1 + 1^{2}$

$a^{2} = {(\sqrt{5} + 1)}^{2}$

Suy ra $a = \sqrt{5} + 1$ hoặc $a = - \sqrt{5} - 1$

Vậy tổng các giá trị của $a$ là $(\sqrt{5} + 1) + (- \sqrt{5} - 1) = 0$

Câu 12 : Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ tạo với đường thẳng $y = 2$ (theo chiều dương) một góc bằng $135^{\circ}$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $4$ .

A.

$y = x - 4$
B.

$y = - x - 4$
C.

$y = x + 4$
D.

$y = - x + 4$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Gọi phương trình đường thẳng $d : y = a x + b$ $(a \neq 0)$

Xác định hệ số $a$ dựa vào góc tạo bởi đường thẳng $d$ với đường thẳng cho trước tìm $b$ dựa vào giao điểm với trục tung.

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường thẳng $d : y = a x + b (a \neq 0)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và đường thẳng $y = 2$ là $135^{\circ}$ nên góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $O x$ cũng là $135^{\circ}$ (do đường thẳng $y = 1$ song song với trục $O x$ ) nên $a = tan 135^{\circ} = - 1$

$\Rightarrow y = - x + b$

Vì đường thẳng $d$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $4$ nên $b = 4$ .

Từ đó $d : y = - x + 4$ .

Câu 13 : Phép tính $\sqrt{12^{2} . {(- 11)}^{2}}$ có kết quả là?

A.

$- 33$
B.

$- 132$
C.

$132$
D.

Không tồn tại.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a, b$ không âm, ta có $\sqrt{a} . \sqrt{b} = \sqrt{a b}$

- Sử dụng hằng đẳng thức: $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Lời giải chi tiết :

$\sqrt{12^{2} . {(- 11)}^{2}} = \sqrt{12^{2}} . \sqrt{{(- 11)}^{2}} = | 12 | . | - 11 | = 12.11 = 132$ .

Chú ý

Học sinh thường quên dấu giá trị tuyệt đối khi sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = | A |$ .

Câu 14 : Cho hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là $3$ và hiệu các bình phương của chúng bằng $360$ . Tìm số bé hơn.

A.

$12$
B.

$10$
C.

$21$
D.

$9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Gọi số thứ nhất là $a; a \in N$ ; số thứ hai là $b; b \in N .$

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là $3$ nên ta biểu diễn được b theo a.

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $360$ nên ta viết được phương trình theo a.

Tính $Δ^{'}$ để tìm a, từ đó ta tính được b.

Lời giải chi tiết :

Gọi số thứ nhất là $a; a \in N^{*}$ ; số thứ hai là $b; b \in N^{*}$

Giả sử $a > b .$

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là $3$ nên ta có $a - 2 b = 3$ hay $a = 2 b + 3$

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $360$ nên ta có phương trình: $a^{2} - b^{2} = 360 (*)$

Thay $a = 2 b + 3$ vào (*) ta được ${(2 b + 3)}^{2} - b^{2} = 360$ hay $3 b^{2} + 12 b - 351 = 0$

Ta có $Δ^{'} = 1089$ suy ra $\sqrt{Δ^{'}} = 33$ nên $b_{1} = \frac{- 6 + 33}{3} = 9 (t m)$ ; $b_{2} = \frac{- 6 - 33}{3} = - 13 (k t m)$

Với $b = 9$ thì $a = 2.9 + 3 = 21$

Vậy số bé hơn là $9$ .

Câu 15 : Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A C = 7 c m, A B = 5 c m$ . Tính $B C; ˆ C$ .

A.

$B C = \sqrt{74} (c m); ˆ C \approx 35^{\circ} 32^{'}$
B.

$B C = \sqrt{74} (c m); ˆ C \approx 36^{\circ} 32^{'}$
C.

$B C = \sqrt{74} (c m); ˆ C \approx 35^{\circ} 33^{'}$
D.

$B C = \sqrt{75} (c m); ˆ C \approx 35^{\circ} 32^{'}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Tính cạnh còn lại theo định lý Py-ta-go

+) Tìm tỉ số lượng giác của góc từ đó suy ra góc.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có

+) $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 5^{2} + 7^{2} = 74 \Rightarrow B C = \sqrt{74} (c m)$

+) $tan C = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{7} \Rightarrow ˆ C \approx 35^{\circ} 32^{'}$

Vậy $B C = \sqrt{74} (c m); ˆ C \approx 35^{\circ} 32^{'}$ .

Câu 16 : Cho tam giác $A B C$ có các đường cao $B D, C E$ . Chọn khẳng định đúng.

A.

Bốn điểm $B, E, D, C$ cùng nằm trên một đường tròn
B.

Năm điểm $A, B, E, D, C$ cùng nằm trên một đường tròn
C.

Cả A, B đều sai
D.

Cả A, B đều đúng

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng: Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải chi tiết :

Gọi $I$ là trung điểm của $B C$ .

Xét tam giác $B E C$ vuông tại $E$ có $E I = I B = I C = \frac{B C}{2}$ (vì $E I$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác $B D C$ vuông tại $D$ có $D I = I B = I C = \frac{B C}{2}$ (vì $D I$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có $I D = I E = I B = I C = \frac{B C}{2}$ nên bốn điểm $B, E, D, C$ cùng nằm trên một đường tròn có bán kính $R = \frac{B C}{2}$ .

Ta thấy $I A > I D$ nên điểm $A$ không thuộc đường tròn trên.

Câu 17 : Phương trình $(2 x + 1)^{4} - 8 (2 x + 1)^{2} - 9 = 0$ có tổng các nghiệm là

A.

$1$
B.

$- 2$
C.

$- 1$
D.

$2 \sqrt{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải phương trình trùng phương bằng cách đặt ${(2 x + 1)}^{2} = t (t \geq 0)$

Đưa về giải phương trình bậc hai ẩn $t$ , so sánh điều kiện $t \geq 0$ rồi thay lại cách đặt để tìm $x$ .

Lời giải chi tiết :

Đặt ${(2 x + 1)}^{2} = t (t \geq 0)$ ta được phương trình $t^{2} - 8 t - 9 = 0$ (*)

Ta có $a - b + c = 1 - (- 8) + (- 9) = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm $t_{1} = 9 (t m); t_{2} = - 1 (k t m)$

Thay lại cách đặt ta có ${(2 x + 1)}^{2} = 9 \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x + 1 = 3 2 x + 1 = - 3 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 x = - 2 \end{matrix}$

Suy ra tổng các nghiệm là $1 + (- 2) = - 1$ .

Câu 18 : Cho parabol $(P) : y = 5 x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = - 4 x - 4$ . Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $(P)$ là:

A.

$1$
B.

$0$
C.

$3$
D.

$2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho parabol $(P) : y = a x^{2} (a \neq 0)$ và đường thẳng $d : y = m x + n$ . Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P)$ , ta làm như sau:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ : $a x^{2} = m x + n$

Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó suy ra số giao điểm của parabol và đường thẳng

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol $(P)$ và đường thẳng $(d) :$

$5 x^{2} = - 4 x - 4 5 x^{2} + 4 x + 4 = 0 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x + 4 = 0 x^{2} + {(x + 2)}^{2} = 0 (*)$

Xét $x^{2} + {(x + 2)}^{2} \geq 0; \forall x$ và dấu “=” xảy ra khi ${\begin{matrix} x = 0 x + 2 = 0 \end{matrix}$ hay ${\begin{matrix} x = 0 x = - 2 \end{matrix}$ (vô lý) nên $x^{2} + {(x + 2)}^{2} > 0; \forall x$

Hay phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy không có giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ .

Câu 19 : Đồ thị hàm số $y = 5 x - \frac{2}{5}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A.

$A (1; \frac{22}{5})$
B.

$B (\frac{1}{5}; \frac{3}{5})$
C.

$C (- \frac{2}{25}; - \frac{3}{5})$
D.

$D (2; 10)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = a x + b (a \neq 0)$ đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0} + b$ .

Lời giải chi tiết :

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+) Với $A (1; \frac{22}{5})$ . Thay $x = 1; y = \frac{22}{5}$ vào $y = 5 x - \frac{2}{5}$ ta được $5.1 - \frac{2}{5} = \frac{22}{5} \Leftrightarrow \frac{23}{5} = \frac{22}{5}$ (Vô lý)

+) Với $B (\frac{1}{5}; \frac{3}{5})$ . Thay $x = \frac{1}{5}; y = \frac{3}{5}$ vào $y = 5 x - \frac{2}{5}$ ta được $5. \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ (Luôn đúng)

+) Với $C (- \frac{2}{25}; - \frac{3}{5})$ . Thay $x = - \frac{2}{25}; y = - \frac{3}{5}$ vào $y = 5 x - \frac{2}{5}$ ta được $5. \frac{- 2}{25} - \frac{2}{5} = - \frac{3}{5} \Leftrightarrow - \frac{4}{5} = - \frac{3}{5}$ (Vô lý)

+)Với $D (2; 10)$ . Thay $x = 2; y = 10$ vào $y = 5 x - \frac{2}{5}$ ta được $5.2 - \frac{2}{5} = 10 \Leftrightarrow \frac{48}{5} = 10$ (Vô lý)

$\Rightarrow B (\frac{1}{5}; \frac{3}{5})$ thuộc đồ thị hàm số $y = 5 x - \frac{2}{5}$ .

Câu 20 : Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích diện tích toàn phần của hình lập phương là $24 c m^{2}$ thì diện tích mặt cầu là:

A.

$4 π$
B.

$4$
C.

$2 π$
D.

$2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4 π R^{2}$ và diện tích toàn phần của hình lập phương $S_{t p} = 6 a^{2}$ với $a$ là độ dài cạnh của hình lập phương.

Lời giải chi tiết :

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu $R = \frac{a}{2}$ với $a$ là cạnh hình lập phương.

Diện tích toàn phần của hình lập phương là:

$S_{t p} = 6 a^{2} = 24$

Suy ra $a = 2 c m$

Do đó $R = \frac{2}{2} = 1 c m$

Khi đó ta có diện tích mặt cầu là:

$S = 4 π R^{2} = 4 π {.1}^{2} = 4 π (c m^{2})$

Chú ý

Một số em có thể quên mất số $4$ trong khi tính diện tích mặt cầu nên chọn đáp án B sai.

Câu 21 : Phương trình $\sqrt{x^{2} - 2 x + 10} + \sqrt{6 x^{2} - 12 x + 31} = 8$ có nghiệm là

A.

Số lẻ dương
B.

Số chẵn dương
C.

Số lẻ âm
D.

Số vô tỉ

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt{x^{2} - 2 x + 10} + \sqrt{6 x^{2} - 12 x + 31} = 8$ $\Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + 9} + \sqrt{6 {(x - 1)}^{2} + 25} = 8$

Nhận thấy $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + 9} \geq 3; \sqrt{6 {(x - 1)}^{2} + 25} \geq 5$ nên $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + 9} + \sqrt{6 {(x - 1)}^{2} + 25} \geq 3 + 5$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + 9} + \sqrt{6 {(x - 1)}^{2} + 25} \geq 8$

Dấu “=” xảy ra khi $⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} \sqrt{{(x - 1)}^{2} + 9} = 3 \sqrt{6 {(x - 1)}^{2} + 25} = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x - 1 = 0 x - 1 = 0 \end{matrix} \Rightarrow x = 1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1.$

Câu 22 : Một cột đèn điện $A B$ cao $7 m$ có bóng in trên mặt đất là $A C$ dài $4 m .$ Hãy tính góc $ˆ B C A$ (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

A.

$59^{\circ} 45^{'}$
B.

$62^{\circ}$
C.

$61^{\circ} 15^{'}$
D.

$60^{\circ} 15^{'}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn từ đó suy ra góc.

Lời giải chi tiết :

Ta có $tan C = \frac{A B}{A C} = \frac{7}{4} \Rightarrow ˆ C ≃ 60^{\circ} 15^{'}$

Câu 23 : Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao $h = 10 c m$ và đường kính đáy là $d = 6 c m$ . Tính diện tích các mặt của hộp sữa. Lấy $π \approx 3, 14$

A.

$110 π (c m^{2})$
B.

$129 π (c m^{2})$
C.

$96 π (c m^{2})$
D.

$69 π (c m^{2})$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ $S_{x q} = 2 π R h$ và diện tích một đáy

Lời giải chi tiết :

Bán kính đường tròn đáy $R = \frac{6}{2} = 3 c m$ nên diện tích một đáy là $S_{đ} = π . R^{2} = 9 π (c m^{2})$

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ:

$S_{x q} = 2 π R h = 2 π .3 .10 = 60 π c m^{2}$

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích các mặt của hộp sữa là:

$S_{t p} = 9 π + 60 π = 69 π (c m^{2})$

Chú ý

Một số bạn sẽ tính diện tích toàn phần bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích hai đáy nhưng hộp sữa ở đây đã mất nắp nên chỉ còn một đáy. Khi tính ta chỉ cần lấy tổng diện tích xung quanh với diện tích một đáy.

Câu 24 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế (biết số dãy ghế ít hơn 20).

A.

14 dãy
B.

15 dãy
C.

16 dãy
D.

17 dãy

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình - giải phương trình.

+ Chọn kết quả và trả lời.

Lời giải chi tiết :

Gọi số dãy ghế là x $(x \in N *)$ (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy là: $\frac{360}{x}$ (ghế)

Số dãy ghế lúc sau là: $x + 1$ (dãy)

Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là: $\frac{360}{x} + 1$ (ghế)

Vì sau khi tăng số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế nên ta có phương trình:

$\begin{matrix} (x + 1) (\frac{360}{x} + 1) = 400 (x + 1) (\frac{360 + x}{x}) = 400 (x + 1) (360 + x) = 400 x 360 x + x^{2} + 360 + x = 400 x x^{2} - 39 x + 360 = 0 \end{matrix}$

Ta có: $Δ = (- 39)^{2} - 4.1.360 = 81 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{39 + \sqrt{81}}{2} = 24 (k t m)$ và $x_{2} = \frac{39 - \sqrt{81}}{2} = 15 (t m)$

Vậy số dãy ghế là 15 (dãy).

Câu 25 : Thu gọn $\sqrt[3]{125 a^{3}}$ ta được

A.

$25 a$
B.

$5 a$
C.

$- 25 a^{3}$
D.

$- 5 a$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\sqrt[3]{a^{3}} = a$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt[3]{125 a^{3}} = \sqrt[3]{{(5 a)}^{3}} = 5 a$

Câu 26 : Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh $cot 50^{\circ}$ và $cot 46^{\circ}$

A.

$cot 46^{\circ} = cot 50^{\circ}$
B.

$cot 46^{\circ} > cot 50^{\circ}$
C.

$cot 46^{\circ} < cot 50^{\circ}$
D.

$cot 46^{\circ} \geq cot 50^{\circ}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng nhận xét : Với góc nhọn $α, β,$ ta có: $α < β \Leftrightarrow cot α > cot β$

Lời giải chi tiết :

Vì $46^{\circ} < 50^{\circ} \Leftrightarrow cot 46^{\circ} > cot 50^{\circ}$ .

Câu 27 : Cho đường thẳng $d$ : $y = \frac{1}{3} x - 10$ . Hệ số góc của đường thẳng $d$ là

A.

$3$
B.

$\frac{1}{3}$
C.

$- \frac{1}{3}$
D.

$- 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng.

Đường thẳng $d$ có phương trình $y = a x + b (a \neq 0)$ có $a$ là hệ số góc.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $d$ : $y = \frac{1}{3} x - 10$ có hệ số góc là $a = \frac{1}{3}$ .

Câu 28 : Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai $2$ giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau $7, 5$ giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau $20$ giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?

A.

$9$ giờ
B.

$12$ giờ
C.

$10$ giờ
D.

$8$ giờ

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là $x$ (giờ), $(x > 2)$ .
Biểu diễn tốc độ chảy của các vòi trong một giờ.
Lập phương trình.

Giải phương trình để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là $x$ (giờ), $(x > 2)$ .

Trong một giờ:

- Vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ ( bể).

- Vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{x - 2}$ ( bể).

- Vì vòi thứ ba chảy ra trong 7,5 giờ thì cạn bề nên trong 1h vòi thứ ba chảy được $\frac{2}{15}$ ( bể).

Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} - \frac{2}{15} = \frac{1}{20}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{11}{60}$

$\frac{x - 2 + x}{x (x - 2)} = \frac{11}{60}$

$\frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x} = \frac{11}{60}$

$120 x - 120 = 11 x^{2} - 22 x$

$11 x^{2} - 142 x + 120 = 0$

Ta có $Δ^{'} = 3721 > 0$ suy ra $\sqrt{Δ^{'}} = 61$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{71 - 61}{11} = \frac{10}{11} (k t m)$ và $x_{2} = \frac{71 + 61}{11} = 12 (t m)$

Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau $10$ giờ bể đầy nước.

Câu 29 : Phát biểu nào sau đây đúng nhất

A.

Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp
B.

Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn nội tiếp
C.

Cả A và B đều đúng
D.

Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Mỗi tam giác luôn có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp ⇒ Câu A đúng

Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn nội tiếp ⇒ Câu B sai

Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác không phải lúc nào cũng là đường tròn nội tiếp tam giác (mà có thể là đường tròn bàng tiếp) ⇒ Câu D sai

Câu 30 : Tính $x$ trong hình vẽ sau:

A.

$x = 14$
B.

$x = 13$
C.

$x = 12$
D.

$x = \sqrt{145}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính $x$ theo hệ thức lượng $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$ $\Rightarrow A H = \frac{A B . A C}{\sqrt{A B^{2} + A C^{2}}} = \frac{15.20}{\sqrt{15^{2} + 20^{2}}} = 12$

Vậy $x = 12$ .

Câu 31 : Cho hai hàm số $f (x) = 6 x^{4}$ và $h (x) = 7 - \frac{3. x}{2}$ . So sánh $f (- 1)$ và $h (\frac{2}{3})$

A.

$f (- 1) = h (\frac{2}{3})$
B.

$f (- 1) > h (\frac{2}{3})$
C.

$f (- 1) < h (\frac{2}{3})$
D.

Không đủ điều kiện so sánh

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm

Để tính giá trị $y_{0}$ của hàm số $y = f (x)$ tại điểm $x_{0}$ ta thay $x = x_{0}$ vào $f (x)$ , ta được $y_{0} = f (x_{0})$ .

So sánh các giá trị tìm được

Lời giải chi tiết :

Thay $x = - 1$ vào hàm số $f (x) = 6 x^{4}$ ta được $f (- 1) = 6. {(- 1)}^{4} = 6$ .

Thay $x = \frac{2}{3}$ vào hàm số $h (x) = 7 - \frac{3 x}{2}$ ta được $h (\frac{2}{3}) = 7 - \frac{3. \frac{2}{3}}{2} = 6$ .

Nên $f (- 1) = h (\frac{2}{3})$ .

Câu 32 : Tìm $m$ để hai phương trình $x^{2} + m x + 2 = 0$ và $x^{2} + 2 x + m = 0$ có ít nhất một nghiệm chung.

A.

$1$
B.

$- 3$
C.

$- 1$
D.

$3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hai phương trình có nghiệm chung thì nghiệm chung đó phải thoả mãn cả hai phương trình

Lời giải chi tiết :

Gọi $x_{0}$ là nghiệm chung của hai phương trình thì $x_{0}$ phải thỏa mãn hai phương trình trên.

Thay $x = x_{0}$ vào hai phương trình trên ta được ${\begin{matrix} {x_{0}}^{2} + m x_{0} + 2 = 0 {x_{0}}^{2} + 2 x_{0} + m = 0 \end{matrix}$ $\Rightarrow (m - 2) x_{0} + 2 - m = 0$ $\Leftrightarrow (m - 2) (x_{0} - 1) = 0$

+) Nếu $m = 2$ thì $0 = 0$ (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.

Lúc này phương trình $x^{2} + 2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = - 1$ vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.

Vậy $m = 2$ không thỏa mãn.

+) Nếu $m \neq 2$ thì $x_{0} = 1$ .

Thay $x_{0} = 1$ vào phương trình ${x_{0}}^{2} + m x_{0} + 2 = 0$ ta được $1 + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$ .

Vậy $m = - 3$ thì hai phương trình có nghiệm chung.

Câu 33 : Tìm cặp giá trị $(m; n)$ để hai hệ phương trình sau tương đương $⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} 3 x + 3 y = 3 x + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} \end{matrix} (I)$ và

${\begin{matrix} x - n y = 1 3 m x + m y = 1 \end{matrix} (I I)$

A.

$(1; \frac{1}{2})$
B.

$(1; - 1)$
C.

$(- 1; 1)$
D.

$(\frac{1}{2}; - 1)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình (I) sau đó thay nghiệm tìm được vào hệ phương trình (II) để tìm $m .$

Lời giải chi tiết :

Giải hệ phương trình (I) $\Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 x + 3 y = 3 3 x + y = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 x + 3 y - (3 x + y) = 3 - 1 3 x + y = 1 \end{matrix}$ ${\begin{matrix} 2 y = 2 3 x + y = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 1 3 x + 1 = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 1 x = 0 \end{matrix}$

Hai phương trình tương đương $\Leftrightarrow$ hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (0; 1) cũng là nghiệm của phương trình (II).

Thay ${\begin{matrix} x = 0 y = 1 \end{matrix}$ vào hệ phương trình (II) ta được ${\begin{matrix} 0 - n .1 = 1 0 + m .1 = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} n = - 1 m = 1 \end{matrix}$

Vậy $n = - 1; m = 1$ .

Câu 34 : Rút gọn biểu thức sau $\sqrt{{(5 - \sqrt{11})}^{2}} + \sqrt{{(3 - \sqrt{11})}^{2}}$ .

A.

$2 + 2 \sqrt{11}$
B.

$8$
C.

$2$
D.

$2 \sqrt{11}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = | A |$

+ So sánh hai căn bậc hai $\sqrt{A} > \sqrt{B} \Leftrightarrow A > B$ với $A, B$ không âm để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt{{(5 - \sqrt{11})}^{2}} + \sqrt{{(3 - \sqrt{11})}^{2}} = ∣ ∣ 5 - \sqrt{11} ∣ ∣ + ∣ ∣ 3 - \sqrt{11} ∣ ∣$

Vì:

+) $5 = \sqrt{25} > \sqrt{11}$ nên $5 - \sqrt{11} > 0$ , do đó $∣ ∣ 5 - \sqrt{11} ∣ ∣ = 5 - \sqrt{11}$

+) $3 = \sqrt{9} < \sqrt{11}$ nên $3 - \sqrt{11} < 0$ , do đó $∣ ∣ 3 - \sqrt{11} ∣ ∣ = \sqrt{11} - 3$

Vì vậy

$\sqrt{{(5 - \sqrt{11})}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{11} - 3)}^{2}} = ∣ ∣ 5 - \sqrt{11} ∣ ∣ + ∣ ∣ \sqrt{11} - 3 ∣ ∣$ $= 5 - \sqrt{11} + \sqrt{11} - 3 = 2$ .

Câu 35 : Đưa thừa số $5 x \sqrt{\frac{- 12}{x^{3}}}$ ( $x < 0$ ) vào trong dấu căn ta được:

A.

$\sqrt{\frac{300}{x}}$
B.

$\sqrt{\frac{- 300}{x}}$
C.

$- \sqrt{\frac{- 300}{x}}$
D.

$- \sqrt{\frac{- 60}{x}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A \sqrt{B} = \sqrt{A^{2} B}$ với $A \geq 0$ và $B \geq 0$

+) $A \sqrt{B} = - \sqrt{A^{2} B}$ với $A < 0$ và $B \geq 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $5 x \sqrt{\frac{- 12}{x^{3}}}$ $= - \sqrt{{(5 x)}^{2} . \frac{- 12}{x^{3}}} = \sqrt{25 x^{2} (\frac{- 12}{x^{3}})} = - \sqrt{\frac{- 300}{x}}$ .

Chú ý

Học sinh thường quên điều kiện khi đưa thừa số vào trong dấu căn dẫn đến sai dấu kết quả.

Câu 36 : Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt các đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt các đường thẳng AB tại I. Chọn đáp án đúng.

A.

Các tam giác $F N I, I N E$ cân
B.

$ˆ I E N = 2 ˆ N D C$
C.

$ˆ D N I = 3 ˆ D C N$
D.

Tất cả các câu đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Nhận biết được góc có đỉnh nằm trong, ngoài đường tròn, góc nội tiếp

+) Tính được số đo góc nằm trong, ngoài đường tròn theo cung bị chắn

+) Nắm vững mối quan hệ góc nội tiếp và số đo cung bị chắn, mối uan hệ giữa số đo cung và dây cung

Lời giải chi tiết :

Ta có tam giác AOB cân tại O nên dễ dàng chỉ ra được $s đ    A D = s đ    D B$

$\begin{matrix} ˆ I F N = \frac{1}{2} (s đ    B N + s đ    A D) = \frac{1}{2} (s đ    B N + s đ    B D) = \frac{1}{2} s đ    D N = ˆ I N F \end{matrix}$

Suy ra tam giác FIN cân tại I

Ta có:

$\begin{matrix} {ˆ N}_{1} + ˆ N_{3} = 90^{0} \Rightarrow {ˆ N}_{1} + ˆ C_{4} = 90^{0} ˆ E_{1} = \frac{1}{2} (s đ    A C - s đ    B N) = \frac{1}{2} (s đ    B C - s đ    C N) = \frac{1}{2} s đ    N C \Rightarrow ˆ C_{4} + ˆ E_{1} = \frac{1}{2} s đ    D N + \frac{1}{2} s đ    N C = \frac{1}{2} s đ    D C = 90^{0} \Rightarrow ˆ E_{1} = ˆ N_{1} \end{matrix}$

Do đó $Δ I N E$ cân tại I.