Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2025 - 2026 trường THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh

$y^{\prime }=-3x^2+6x$; $y^{\prime }=0\iff -3x^2+6x=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}$

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đồng biến trên (0; 2).

$I\left(\frac{2+0}{2};\frac{2-4}{2};\frac{3+1}{2}\right)\Rightarrow I\left(1;-1;2\right)$.

$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(2.1-0;2.2+1;2.3-1\right)=\left(2;5;5\right)\Rightarrow \left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2^2+5^2+5^2}=\sqrt{54}$.

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ là $y=-1$.

A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD), do đó AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó $\left(SB,\left(ABCD\right)\right)=\left(SB,AB\right)=\widehat{SBA}$.

$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\iff [\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}$, $k\in Z$.

a) Đúng. Giả sử tiệm cận xiện của đồ thị có phương trình $y=mx+n$. Tiệm cận xiên đó đi qua các điểm có tọa độ (-1; 0) và (0; 1) nên ta có $\{\begin{array}{c}0=-1m+n\\ 1=0m+n\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m=1\\ n=1\end{array}\Rightarrow y=x+1$.

b) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của tiệm cận xiên y = x + 1 và tiệm cận đứng x = 1. Do đó, tâm đối xứng là điểm I(1; 2).

Vì tâm đối xứng của đồ thị cách đều hai cực trị nên điểm cực tiểu có tọa độ: $\{\begin{array}{c}2.1-0=2\\ 2.2-0=4\end{array}$.

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $T\left(2;4\right)$.

c) Sai. Quan sát trên $\left(1;+\infty \right)$, đồ thị có đi xuống từ trái sang phải nên hàm số không đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$.

d) Đúng. Ta có hàm số của đồ thị trên là $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x-1}$.

Đồ thị đi qua O(0; 0) nên ta có $0=\frac{a{.0}^2+b.0+c}{0-1}\Rightarrow c=0$.

Có $y=\frac{a{x}^2+bx}{x-1}=ax+a+b+\frac{a+b}{x-1}$, mà tiệm cận xiên của đồ thị là y = x + 1 nên $\{\begin{array}{c}a=1\\ a+b=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=1\\ b=0\end{array}$.

Vậy hàm số có đồ thị trên là $y=\frac{x^2}{x-1}$, đạo hàm $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{{(x-1)}^2}$.

Gọi I là trung điểm của AB. Vì các tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên $y{}_{x_A}^{\prime }=y{}_{x_B}^{\prime }$

$\iff \frac{{x_A}^2-2x_A}{{(x_A-1)}^2}=\frac{{x_B}^2-2x_B}{{(x_B-1)}^2}\iff \frac{{x_A}^2-2x_A+1-1}{{(x_A-1)}^2}=\frac{{x_B}^2-2x_B+1-1}{{(x_B-1)}^2}$

$\iff 1-\frac{1}{{(x_A-1)}^2}=1-\frac{1}{{(x_B-1)}^2}\iff (x_A-1{)}^2=(x_B-1{)}^2\iff x_A-1=\pm (x_B-1)$.

Loại $x_A-1=x_B-1$ vì khi đó A trùng B. Suy ra $x_A-1=1-x_B\iff x_A+x_B=2\iff x_I=1$.

Xét $y_A+y_B=\frac{{x_A}^2}{x_A-1}+\frac{{(2-x_A)}^2}{(2-x_A)-1}=\frac{{x_A}^2-{(2-x_A)}^2}{x_A-1}=\frac{4x_A-4}{x_A-1}=4\iff y_I=2$.

Vậy trung điểm I(1; 2) của đoạn thẳng AB là một điểm cố định.

Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Khi đó $d\left(M,AB\right)=MH\le MI$. Dấu “=” xảy ra khi $MI\perp AB$.

Đường thẳng AB qua I(1; 2), nhận $\overrightarrow{IM}=(3;-1)$ làm vecto pháp tuyến nên có phương trình:

$3(x-1)-1(y-2)=0\iff 3x-y-1=0\iff y=3x-1$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $y=\frac{x^2}{x-1}$ và đường thẳng AB là:

$\frac{x^2}{x-1}=3x-1\iff 2x^2-4x+1=0\iff \frac{2\pm \sqrt{2}}{2}$.

Suy ra $A\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2};\frac{4+3\sqrt{2}}{2}\right)$ và $B\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{4-3\sqrt{2}}{2}\right)$.

$AB=\sqrt{{\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}-\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{4-3\sqrt{2}}{2}-\frac{4+3\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=2\sqrt{5}$.